《概率论六七章课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论六七章课件（55页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,从本章开始我们进入数理统计部分：,1、研究怎样用有效的方法去收集和使用带随机性影响的数据。,2、根据试验或观察得到的统计资料，对被研究的统计对象的统计特征，如分布、期望、方差等作出科学的统计推断。,2,6.1 数理统计基本概念,一、总体和样本,1、总体和个体,定义：所观察的对象的全体称为总体，也称母体。而把组成总体的每一个基本元素称为个体。总体是一个随机变量，记为 。,3,定义：从总体 中抽取n个个体：将随机向量 称为样本，n称为样本容量。,样本是一个随机向量。把抽样后得到的n个抽样结果称为样本值，记为(x1,x2,xn)。它是一组数据。,4,2、简单随机样本,定义：设总体为 ，总体的分布
2、函数设为F(x)，一个容量为n的样本 ，如果满足条件：, 代表性： 与 具有相同的分布函数F(x)(i=1,2,n)；, 独立性： 相互独立。,称这样的样本为简单随机样本，可获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样。,5,3、样本的分布律或分布函数,离散型总体：,若,则样本,的联合分布律,连续型总体：,若密度函数为f(x)，则样本,的联合密度函数,6,例1：设某电话交换台一小时内收到的呼唤次数为 ，对其观察n个小时，每小时观察到的样本为 ，求此样本分布。,例2：某种灯泡的寿命 服从指数分布，参数为 ，其概率密度为,求来自这一总体的简单随机样本的联合分布密度。,7,二、统计量和样本矩,1、统计
3、量定义,由样本 构成且不含任何未知参数的连续函数称为统计量。记为 ，统计量仍是随机变量。,2、常用统计量,样本均值,样本方差,8,样本标准差,样本k阶原点矩,样本k阶中心矩,3、顺序统计量,极大值统计量,极小值统计量,极差,9,定理1：,证明：,独立同分布，且 ，,，故,10,定理2：,证明：,其中,，故,方差,11,例3：设总体 服从01分布， 是未知参数， 是从中抽取的一个样本。 指出 哪些是统计量，哪些不是统计量，为什么？ 若样本的一个观察值为(1,0,0,1,1)，计算它的样本均值和方差。,例4：设 为来自总体 的一个样本， 的期望、方差均存在， ， ，求 EB2。,12,6.2 抽样
4、分布与分位数,统计量仍是随机变量，统计量的分布称为抽样分布，常用的分布有,一、正态总体的线性函数,设 是总体 的一个样本， 为任意常数，则,13,定理：, 设,，则 。, 设,为任意常数，则, 若,，且,相互独立，则,14,例1：设总体 N(52,6.32)，从中抽取容量为36的样本，,求： 子样均值 ； 总体 ； 分别落在50.853.8的概率。,例2：设总体 ，从中抽取容量为n的样本，,，,(1) 试问容量n为多少时，才能使,(2) 又问容量n为多少时，才能使,15,二、 分布,若总体 ， 是总体 的一个样本，令统计量,则称统计量 服从自由度为n的 分布，记为 。,16,性质：, 时，其密
5、度函数为,其中( ) 函数，,17, ，则 。, ，且 与 相互独立，则, ，当n充分大，,正态分布,18,6.2 抽样分布与分位数（续）,三、 t 分布,设 ， ，且 与 相互独立，令统计量,则称T服从自由度为n的t分布（学生分布），记为Tt(n)。,19,性质：, Tt(n) 时，其密度函数为, f(-t)=f(t)，图形关于y轴对称（p.208）；, ，t(n)近似于N(0,1)；,。,20,四、 F 分布,设 ， ，且 与 相互独立，令统计量 ，则称F服从自由度为(m,n),的F分布，记为FF(m,n)。,性质：, F分布的密度函数的图形见p.209。,21,五、 正态总体样本均值与样
6、本方差的分布,1、一个正态总体,设 是正态总体 的一个样本， ， ，则, 统计量, 统计量,22, 统计量, 统计量, 统计量, 与S2相互独立,p.210有详细说明。,关于 与S2的深刻结论,23,2、两个正态总体,设 是正态总体 的样本， ， ；,是正态总体 的样本， ， 。则有,24, 若 ，则,25,3、非正态总体场合（大样本）,此时，利用中心极限定理的思想。,若 独立同分布，,记 ，则,只要n足够大，,26,4、例子, 来自 ， 来自 ， 分别为它们的样本均值，a,b为常数。问 服从什么分布？, 为N(0,1)的样本，令 求参数c，使 满足 分布，并给出自由度。, 设 ，求证： 。,
7、27, 设 为总体 的一个样本， 为样本均值，试问样本容量n应取多大才能使 ？, (大样本)小麦虫食率为15，求在1000粒小麦中虫食在100200之间的概率。,28,设连续型随机变量 的分布函数为F(x)，给定概率 ，存在某个实数c，使得,x,o,y,c,六、 分位数,c称为该分布函数F(x)的上侧分位数。于是，,29,1、标准正态分布, UN(0,1)，给定 ， ， 标准正态分布的上侧 分位数。,当 时，若 ， ，,由于 ，当 时， ，此时 。,30,图1： 分位数,图2：双侧 分位数, 对 ，求c，使 。,此时 ， ， 。,31,2、 分布,， 分布的上侧 分位数记为 。,可通过查表计算
8、（p.330）。,x,y,o,例1：求 ； ； ； 。,例2：设总体 ， 为其样本，求 。,32,3、t分布,设Tt(n)，t分布的上侧 分位数记为 ，满足 。,，查表；,，利用t分布的对称性。, ，, 的实数c称为t分布的双侧 分位数， 。,33,4、F分布,设FF(m,n)，对 ，F分布的上侧 分位数记为 ，满足 。, 0.1,0.05,0.025,0.01,0.005及不同的m,n，直接查表（p.336）。, 0.9,0.95,0.975,0.99,0.995无表可查，但可利用 进行计算。,34,例1：计算F0.1(8,10)；F0.05(9,12)；F0.9(10,8)及F0.95(1
9、2,9)。,例2：设总体 ，现从中独立抽取容量分别为10和15的两个样本，求它们的样本均值之差的绝对值大于0.3的概率。,35,本章开始，我们要讨论数理统计的核心部分-统计推断，即由样本来推断总体。这是一个由局部来推断整体的过程，按所研究的问题和内容来看，可分为参数估计和假设检验两种主要类型。,本章内容为参数估计，包括点估计和区间估计，我们主要学习点估计方法。,36,定义（点估计）：,设总体 的分布函数 或分布密度函数 的类型已知，其中为未知参数， 为其样本。,利用样本去构造k个适当的统计量 ， 去估计未知参数 的值，称为参数 的估计量。记为,这样的估计称为点估计。,37,7.1 点估计方法,
10、一、矩估计法,1、定义：设总体 为随机变量，称,(1),为 的k阶原点矩；,(2),为 的k阶中心矩；,38,相应地，,(3),为总体原点矩的估计量,(4),为总体中心矩的估计量,39,2、具体做法：设 为待估参数，通常k1或k2。, k1，计算 ；k2，计算 ， 。, 将待估参数表示成 或 ， 的函数。, 在上述式子中， 用 或 代替， 用 或 代替。, 待估参数上加箭头“”，从而完成了计算。,总体均值由样本均值来估计。,40,3、具体例子：, 设 ，求 和 的矩估计。, 设 是总体 的样本，求下列总体中未知参数 的矩估计。,41,4、小结：,不管总体的分布形式如何，只要总体的原点矩或中心矩存在，就可利用样本矩估计总体矩，一目了然。但有缺点如下：, 某些分布原点矩不存在，如柯西分布,
