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1、二 几个重要的连续型随机变量及其分布,(1) 若随机变量 X 的概率密度为,1. 均匀分布（Uniform）,则称 X 在(a, b)上服从均匀分布，记为 XU(a, b),若 XU(a, b)，X 的分布函数为,对于满足a c d b的任意的c , d, 有P(c 0 ，则称 X 服从参数为的指数分布, 记为XE(),X 的分布函数为,指数分布的另一种等价定义,例2：经过长期的观测，对某些电子元件的寿命可作如下假定：在已使用了t 小时的条件下，在以后的t小时内损坏的概率为t+o(t) ，其中是不依赖于t的常数；电子元件寿命为零的概率是零，求电子元件在T内损坏的概率。,解：设电子元件的寿命为X
2、, 其分布函数为F(x).,依题意，要求F(T)=P(XT).,由题中假定，知,经过长期的观测，对某些电子元件的寿命可作如下假定：在已使用了t 小时的条件下，在以后的t小时内损坏的概率为t+o(t) ，其中是不依赖于t 的常数；电子元件寿命为零的概率是零，求电子元件在T内损坏的概率。,设电子元件的寿命为X, 其分布函数为F(x).,另外，由条件概率的定义，知,从而有,令t 0, 得一阶线性微分方程,解之，得,服从指数分布的随机变量X具有以下性质:,或称无后效性，即对于任意s, t 0, 有,事实上,无记忆性,无后效性是指数分布的特征. 如果 X 表示某仪器的工作寿命, 无后效性的解释是: 当仪
3、器工作了s 小时后再能继续工作 t 小时的概率等于该仪器刚开始就能工作 t 小时的概率. 说明该仪器的使用寿命不随使用时间的增加发生变化, 或说仪器是“永葆青春”的.一般来说, 电子元件等具备这种性质,它们本身的老化是可以忽略不计的, 造成损坏的原因是意外的高电压等等.,例3 设时间(0, t内有N(t) 粒子放射出来,且,设 X 为第一个粒子发射出来的时刻，则,所以,从而,即 XE() .,3. 正态分布,若r.v X 的概率密度为,其中 ， 均为常数，且 0，则称X服从参 数为 ， 的正态分布. 记作,X 的分布函数为,4. 正态分布,a. 正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线.,
4、特点是“两头小，中间大，左右对称”.,f (+c)=f (-c),密度函数图形的特点,b. 决定了图形的位置。,正态分布,的密度函数图形特点,c. 在x=处达到最大值:, 决定了图形中峰的陡峭程度.,d. 这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。,当x 时，f(x) 0,e.,为f (x)的两个拐点的横坐标。,x = ,年降雨量、同龄人身高、在正常条件下各种产品的质量指标如零件的尺寸；纤维的强度和张力、农作物的产量，小麦的穗长、株高、测量误差、射击目标的水平或垂直偏差、信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.,5. 正态分布的分布函数,5. 正态分布的分布
5、函数,6. 标准正态分布,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用 和 表示：,注意：(0)=0.5(x)=1 (x),若 XN(0, 1)，对任意的实数x1, x2 (x1 x2)，有,人们已编制了 (x)的函数表，可供查用。,7. 正态分布的计算,对任意的实数x1， x2 (x1 x2)，有,例4 设 X N(, 2), 求 P( |X- | k )的值, k=1, 2, 3,解：,当 k=1,当 k=2,当 k=3,质量控制中的3原则。设在正常生产的情况下，某零件的尺寸X服从正态分布N(, 2),为了在生产过程中随时检查有无系统性误差出现，人们画了一个质量控制图。每隔一定时
6、间，对产品尺寸进行检查，测量的产品的尺寸应落在上、下控制线之内。如果点超出控制线，则很有可能是生产出现了异常情况，应该暂停生产进行检查。当然也可能虚报，但虚报的可能性比较小。,解：,例5 某市高校高等数学统考, 假定考生成绩 X N(, 2). 现已知80分以上者占总人数的33%, 40分以下者占总人数的8%, 求考生的及格率.,依题意，知,P( X80)=0.33 P(X40)=0.08,因此有,P( X80)=0.67,反查标准正态分布表得,解上述联立方程组，得,某市高校高等数学统考, 假定考生成绩 X N(, 2). 现已知80分以上者占总人数的33%, 40分以下者占总人数的8%, 求
7、考生的及格率.,所以,例6 一桥长60m, 以桥的中点为原点,沿着桥的方向引入坐标轴. 一架飞机沿着坐标轴俯冲投弹轰炸此桥, 假定弹着点的坐标X N(0, 100 2). (1) 求投掷一枚炸弹, 命中此桥的概率 p ; (2) 问独立投掷多少枚炸弹, 才能使至少有一枚弹 命中此桥的概率大于0.9.,解：,一桥长60m, 以桥的中点为原点,沿着桥的方向引入坐标轴. 一架飞机沿着坐标轴俯冲投弹轰炸此桥, 假定弹着点的坐标X N(0, 100 2). (2) 问独立投掷多少枚炸弹, 才能使至少有一枚弹 命中此桥的概率大于0.9.,解：,设需独立投掷n弹才能满足要求。,设Z为n弹中,命中桥的弹数。,
8、则有,Z B(n,p)，,所以依题意,一桥长60m, 以桥的中点为原点,沿着桥的方向引入坐标轴. 一架飞机沿着坐标轴俯冲投弹轰炸此桥, 假定弹着点的坐标X N(0, 100 2). (2) 问独立投掷多少枚炸弹, 才能使至少有一枚弹 命中此桥的概率大于0.9.,解：,所以需要独立投掷9枚炸弹, 才能使至少有一枚弹 命中此桥的概率大于0.9.,4. Gamma 分布,设 , 是正常数, () 由积分,定义. 如果 X 的密度是,则称 X 服从参数 , 的Gamma分布, 记作,当=1时， (1, ) 即为E(), 此时,Gamma分布的历史英国著名统计学家Pearson在研究物理, 生物及经济中
9、的随机变量时, 发现很多连续型随机变量的分布都不是正态分布. 这些随机变量的特点是只取非负值, 于是他致力于这类随机变量的研究. 从1895年至1916年间, Pearson连续发表了一系列的连续分布密度曲线, 认为这些曲线可以包括常见的单峰分布, 其中就有Gamma分布. 在气象学中, 干旱地区的年、季或月降水量被认为服从分布, 指定时间段内的最大风速等也被认为服从分布.,问题的提出,2-5 随机变量函数的分布,在实际问题中，我们常常对某些随机变量的函数感兴趣。例如，在一些试验中，所关心的随机变量不能由直接测量得到，而它却是某个能够直接 测量的随机变量的函数。如，考察一批圆轴的截面面积Y，我
10、们能够直接 测量的是直径 X，且当直径 X 取 x 值时，截面面积Y 的取值为,一般地，设X, Y 是两个随机变量，y=g(x)是一个已知函数，如果当X 取值 x 时，Y 取值为g(x)，则称Y 是随机变量X 的函数。记为Y=g(X),问题是：如何由已知的随机变量X 的概率分布去求得它的函数Y=g(X)的概率分布,一 离散型随机变量函数Y=g(X)的分布,解：,例7 设 X ,求 Y= (X 1)2 的分布律.,Y 所有可能的取值为0，1，4，而且,所以，Y 的分布律为,一般地，若X 的分布列为,则Y = g(X) 的分布列为,如果 g(xk )中有一些值是相等的，则它们是Y可能取的同一个值。
11、此时，在Y的分布列中，只需列出一个，然后把对应于这些相同值的概率相加，作为Y取这个可能值的概率.,二 连续型随机变量函数Y=g(X)的分布,例8 设随机变量 X 的概率密度为,令,求Y 的分布,解：,所以Y 的分布为,例9,设 X ,求 Y=2X+8 的概率密度.,解：设Y 的分布函数为 FY ( y )，,FY (y)=PY y = P (2X+8 y ),=P X = FX( ),于是Y 的密度函数,故,当 8 y 16 时，,当 y 8 或 y 16 时，,1. 当 y =g(x) 是单调函数,定理 若连续型随机变量 X 只在(a, b)上取值，它的概率密度为 fX(x)，又 y =g
12、(x) 是严格单调的可导函数，则Y =g (X)是连续型随机变量，其概率密度为,其中 x = (y) 是 y =g(x) 的反函数，(， )是 y =g(x), a x b 的值域。,证明：设y =g (x) 严格单调增加,当y 时,当 y 时,所以,例10 假设随机变量 X 服从参数为2的指数分布，试求Y=1-e-2X 的分布。,对于,解：,y =1 e 2x，,它是严格单调可导函数,其值域为,X 的概率密度为,(0, 1).,且,所以,2. 当y=g(x)是非单调函数,例 11 假设随机变量X具有概率密度 fX(x)，-x0 时,求导可得,假设随机变量X具有概率密度 fX(x)，-x0,FY(y)=0 , y 0时，,例12 已知随机变量 X U 0, , 求Y = sinX 的概率密度 fY ( y),解：当 y 0时，,当0 y 1时，,当 y 1时，,综上所述,于是,作业,
