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1、定理3.6 (Abel定理) 若级数 在,处收敛，则当 时, 级数 绝对收敛;,若级数 在 处发散，则当 时, 级数,发散.,3.2.2 幂级数的敛散性,因而存在正数M, 使得,当 时, 记 于是,由正项级数的比较判别法知, 收敛, 因此,证明 若级数 收敛, 则,级数 绝对收敛.,其余的结论用反证法易得.,收敛圆与收敛半径,(1) 对所有的正实数都收敛.,级数在复平面内绝对收敛.,(2) 对所有的正实数都发散.,级数在复平面内除原点外处处发散.,(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收,敛的正实数.,设 时, 级数收敛; 时, 级数发散. 如图:,由 , 幂级数 收敛情况有三种:,
2、.,.,收敛圆,收敛半径,.,.,事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨,问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?,以 为中心的圆域.,收敛半径根据前面所述的三种情形, 分别,规定为,论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数,进行具体分析.,解,绝对收敛, 且有,在 内, 级数,例3.2 求级数 的和函数与收敛半径.,所以收敛半径,例3.3 对任何复数z , 级数,都绝对收敛，即它们的收敛半径,事实上, 容易验证, z取任意正实数时, 它们均,绝对收敛.,例3.4 讨论级数 和 的收敛性.,解 级数 在 点收敛, 但在,经过较为复杂的讨论可知, 当 时,级数 都收敛.,因此级数 的收敛半径,
3、点, 级数 发散.,显然, 级数 在 上处处绝对收敛 .,但当 时,因此当 时, 级数 发散.,因为 是任意的, 故当 时, 级数,处处发散.,所以, 收敛半径为,收敛半径的计算方法(一),(3) 当 时, 收敛半径,(1) 当 时, 收敛半径,(2) 当 时, 收敛半径,定理3.7 (比值法) 设级数 如果,则,收敛半径的计算方法(二),(3) 当 时, 收敛半径,(1) 当 时, 收敛半径,(2) 当 时, 收敛半径,定理3.8 (根值法) 设级数 如果,则,p为正整数.,解 因为 所以,于是收敛半径,由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此,可得出下面几个定理.,定理3.9 (1) 设级数
4、 和 的收敛,半径分别为 和,则在 内,3.2.3 幂级数的性质,(2) 设级数 的收敛半径为 r.,如果在 内, 函数 解析, 并且,则当 时,说明: 上述运算常应用于将函数展开成幂级数.,前面关于级数 的性质, 如果将 换成,之后, 对于级数 当然也成立.,例3.5 把函数 表示成形如,的幂级数, 其中a与b是不相等的复常数 .,代数变形 , 使其分母中出现,凑出,把函数 写成如下的形式:,当 即 时,所以,例3.6 求 的收敛半径与和函数.,解 因为 所以,当 时,又因为 从而,定理3.10 设幂级数 收敛半径,半径为R, 并且在 内,则 是 内的解析函数, 且在收敛圆,内, 可以逐项求
5、导和逐项积分, 即,(1) 当 时,(2) 设C是 内的一条分段光滑曲线,则,特别地, 如果C是圆内部的以0为起点、z为,终点的分段光滑曲线, 则,例3.7 求 的收敛半径与和函数.,利用逐项积分得,所以,解 因为 所以,1 Taylor级数展开定理,2 将函数展开成Taylor级数,3 函数的零点,3.3 Taylor级数,实函数在一点的邻域内展开成Taylor级数是,非常重要的问题，它是表示函数、研究函数性质,以及进行数值计算的一种工具.,对于复变函数, 我们已经知道幂级数在收敛,圆域内收敛于解析函数. 在本节我们将证明解析,函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数,Taylor级数.
6、这是解析函数的重要特征.,3.3.1 Taylor级数展开定理,为了证明Taylor展开定理, 我们首先介绍下面,一个关于逐项积分的引理.,引理 设 都是在分段光滑,(或可求长)曲线C上的连续函数, 且级数,在C上收敛于函数,如果存在一个收敛的正项,级数,使得在C上,则 是C上的连续函数, 且,事实上, 利用,证明 证明 在C上连续比较复杂, 我们,这里只证明,级数 的余项.,R为 到D边界的距离,定理3.11 (Taylor展开定理) 设 在区域D,.,R,(D是全平面时, R=+),则 在 内可,可展开为幂级数,其中,系数cn按上述表示的幂级数称为,在 点的Taylor级数.,.,.,C,
7、.,R,证明 对 内任意一点z,存在 r0,使得 并且,以z0为圆心, r为半径,作正向圆周,由,因为当 时,于是类似于,从而,下面证明积分号下的级数可在C上逐项积分.,因为 是 D上的解析函数, 所以 在C,上有界, 即存在 使得当 时,因此, 在 上,其中,前面积分号下的级数可在C上逐项积分.,记 则由 ,再根据,定理3.11给出了函数在 z0点的邻域内展开成,Taylor级数的公式, 同时给出了展开式的收敛半,径R=|z0-a|, 其中a 是离z0最近的 f (z)的奇点.,Taylor展开式的惟一性定理,注 这个定理为把函数展开成Taylor级数的间接,方法奠定了基础.,绝对收敛.,得
8、,其中,则由 ,可以逐项积分. 又因为,以及,因此, 解析函数在一点展开成幂级数的结果惟一.,3.3.2 将函数展开成Taylor级数,将函数展开为Taylor级数的方法:,1. 直接方法; 2. 间接方法.,1. 直接方法,由Taylor展开定理计算级数的系数,然后将函数 f (z)在z0 展开成幂级数.,并且收敛半径,2. 间接方法,借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析 函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 逐项 积分等)和其它的数学技巧 (代换等) , 求函数的 Taylor展开式.,间接法的优点:,不需要求各阶导数与收敛半径 , 因而比直 接展开更为简洁 , 使用范围也更为广
9、泛 .,例3.9 利用,并且收敛半径,同理,的Taylor级数.,解,故收敛半径,在 中，用z替换-z, 则,逐项求导，得,令 则,根据例3.10，,的Taylor级数.,负实轴向左的射线的区域内解析.,因为,并且由 有,所以,根据 ，把上式逐项积分，得,在z=0点的Taylor展开式.,实轴向左的射线的区域内解析.,因此在 内,可展开为z的幂级数.,根据复合函数求导法则,按照直接方法展开如下:,令z=0, 有,于是,成Taylor级数，并指出该级数的收敛范围.,当 即 时,附: 常见函数的Taylor展开式,3.3.3 函数的零点,定义3.4 设函数f (z)在区域 D内的一点z0的值,为零
10、，则称z0为函数f (z)的零点.,定义3.5 如果函数f (z)在其零点z0的某个邻域,内解析，并且在该邻域内,没有其他零点, 则称z0为f (z)的孤立零点.,在本段中, 我们将介绍解析函数的零点概念, 并,证明零点的孤立性以及解析函数的惟一性定理.,定义3.6 如果解析函数f (z)在点z0的邻域内,可以表示为,为f (z)的m级零点.,设z0是函数f (z)的孤立零点, 那么根据f (z)在,z0点的Taylor展开式可知, 存在正整数m, 使得,定理3.13 不恒为零的解析函数的零点必是,孤立零点.,证明 设z0为函数f (z)的m级零点, 于是存在,恒不为零，所以f (z)在邻域,
11、内，除z0外无其他零点，即z0是f (z)的孤立零点.,这是解析函数又一个,对于实可微函数, 其,零点不一定是孤立的，例如函数,在零点x=0处可微，但是,也是f (z)的零点，且,f (z)在D内恒为零.,推论3.3(解析函数的惟一性定理) 设函数f (z),如果对一切n, 都有,则在D内恒有,列互异的零点, 于是由推论3.2知F(z)在D内恒为零.,这是解析函数又一个非常重要的特性: 定义在,区域 D内的两个解析函数，只要在D内的某一部分,(子区域或孤段)上的值相等，则它们在整个区域 D,上的值相等. 对于实可微函数而言, 不具有这样的,性质.,m 级零点的判别方法,证明 (必要性),定理3.14 不恒为零的解析函数f (z)以z0为m级,零点的充分必要条件是,使得在该邻域内,其中 解析,成Taylor级数为,那么,根据 , 这就是f (z)在,中的Taylor展开式，由此可见,(充分性) 因为f (z)在点z0解析, 由,该邻域内可展开成Taylor级数. 由已知条件知, 该,级数为,于是,所以由 知，z0是f (z)的m级零点 .,
