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1、高等数学1,期末复习,一、两向量的数量积,沿与力夹角为,的直线移动,1. 定义,设向量,的夹角为 ,称,数量积,(点积) .,故,2. 性质,为两个非零向量,则有,3. 运算律,(1) 交换律,(2) 结合律,(3) 分配律,事实上, 当,时, 显然成立 ;,例1. 证明三角形余弦定理,证:,则,如图 . 设,4. 数量积的坐标表示,设,则,当,为非零向量时,由于,两向量的夹角公式, 得,例2. 已知三点, AMB .,解:,则,求,故,二、 偏导数定义及其计算法,引例:,研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 ,就是,中的 x 固定于,求,一阶导数与二阶导数.,x0 处,关于 t 的,将振幅
2、,定义1.,在点,存在,的偏导数，记为,的某邻域内,则称此极限为函数,极限,设函数,注意:,同样可定义对y 的偏导数,若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数 ,记为,或 y 偏导数存在 ,例1 . 求,解法1:,解法2:,在点(1 , 2) 处的偏导数.,高阶偏导数,设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z = f ( x , y ),的二阶偏导数 .,按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导,数:,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z = f
3、 (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为,z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶,偏导数为,例5. 求函数,解 :,注意:此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,则,定理.,例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,说明:,本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.,函数在其定义区域内是连续的 ,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数,在点 (x , y , z) 连续时, 有,而初等,备用题,设,方程,确定 u 是 x , y 的函数 ,连续, 且,求,解:,设
4、曲面方程为,曲线在M处的切向量,在曲面上任取一条通过点M的曲线,三、曲面的切平面与法线,令,则,切平面方程为,法线方程为,曲面在M处的法向量即,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.,特殊地：空间曲面方程形为,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,切平面上点的竖坐标的增量,因为曲面在M处的切平面方程为,其中,解,切平面方程为,法线方程为,解,令,切平面方程,法线方程,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),思考题,思考题解答,设切点,依题意知切向量为,切点满
5、足曲面和平面方程,例4. 确定正数 使曲面,在点,解: 二曲面在 M 点的法向量分别为,二曲面在点 M 相切, 故,又点 M 在球面上,于是有,相切.,与球面, 因此有,思考与练习,1. 如果平面,与椭球面,相切,提示: 设切点为,则,(二法向量平行),(切点在平面上),(切点在椭球面上),证明 曲面,上任一点处的,切平面都通过原点.,提示: 在曲面上任意取一点,则通过此,2. 设 f ( u ) 可微,证明原点坐标满足上述方程 .,点的切平面为,1. 证明曲面,与定直线平行,证: 曲面上任一点的法向量,取定直线的方向向量为,则,(定向量),故结论成立 .,的所有切平面恒,备用题,四、三重积分
6、的计算（4,5,10）,1. 利用直角坐标与柱坐标计算三重积分,方法1 . 投影法 (“先一后二”),方法2 . 截面法 (“先二后一”),方法:,方法1. 投影法 (“先一后二” ),该物体的质量为,细长柱体微元的质量为,方法2. 截面法 (“先二后一”),为底, d z 为高的柱形薄片质量为,该物体的质量为,例1. 计算三重积分,解:,用“先二后一 ”,例2. 计算三重积分,解: 在柱面坐标系下,所围成 .,与平面,其中由抛物面,原式 =,2. 利用球坐标计算三重积分,就称为点M 的球坐标.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,如图所示, 在球面坐标系中体积元素为,因此有,其中,适用范
7、围:,1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;,2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.,例3. 计算三重积分,解: 在球面坐标系下,所围立体.,其中,与球面,例4.求曲面,所围立体体积.,解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部,利用对称性, 所求立体体积为,yoz面对称, 并与xoy面相切,故在球坐标系下所围立体为,且关于 xoz,例5. 设,计算,提示: 利用对称性,原式 =,奇函数,例6. 设由锥面,和球面,所围成 , 计算,提示:,利用对称性,用球坐标,例7. 计算,其中,解:,利用对称性,六、对弧长的曲线积分的计算法,基本思路:,计算定积分,定理:,且,上的连续函数,是定
8、义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,如果曲线 L 的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,则,推广: 设空间曲线弧的参数方程为,则,例1. 计算,其中 L 是抛物线,与点 B (1,1) 之间的一段弧 .,解:,上点 O (0,0),例2. 计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,解:,线,例3. 计算,其中为球面,被平面 所截的圆周.,解: 由对称性可知,思考: 例3中 改为,计算,解: 令, 则,圆的形心在原点, 故, 如何,思考与练习,1. 已知椭圆,周长为a , 求,提示:,原式 =,利用对称性,分析:,七、对坐标的曲线积分的计算法,定理:,在有向光滑弧 L 上有定义且,L 的参数方
9、程为,则曲线积分,连续,存在, 且有,特别是, 如果 L 的方程为,则,对空间光滑曲线弧 :,类似有,例1. 计算,其中L 为沿抛物线,解法1 取 x 为参数, 则,解法2 取 y 为参数, 则,从点,的一段.,例2. 计算,其中 L 为,(1) 半径为 a 圆心在原点的,上半圆周, 方向为逆时针方向;,(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ).,解: (1) 取L的参数方程为,(2) 取 L 的方程为,则,则,例3. 设在力场,作用下, 质点由,沿移动到,解: (1),(2) 的参数方程为,试求力场对质点所作的功.,其中为,区域 D 分类,单连通区域 ( 无
10、“洞”区域 ),多连通区域 ( 有“洞”区域 ),域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左,定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,( 格林公式 ),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,或,一、 格林公式,例1.,设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明,证: 令,则,利用格林公式 , 得,例2. 计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解: 令,设 L 所围区域为D,由格林公式知,在D 内作圆周,取逆时,针方向, 对区域,应用格,记 L 和 l 所围的区域为,林公式 , 得,思考与练习,1. 设,且都取正向, 问下列计算是否正确 ?,提示:,备用题 . 设
11、C 为沿,从点,依逆时针,的半圆, 计算,解: 添加辅助线如图 ,利用格林公式 .,原式 =,到点,平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,说明:,根据定理2 , 若在某区域内,则,2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,
12、则原函数为,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;,取定点,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;,例4. 计算,其中L 为上半,从 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,它与L 所围,原式,圆周,区域为D , 则,例5. 验证,是某个函数的全微分, 并求,出这个函数.,证: 设,则,由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使,。,。,解,定理: 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,九、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,说明:,可有类似的公式.,1) 如果曲面方程为,2) 若曲面为参数方程,只要求出在参
13、数意义下dS,的表达式 ,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的,二重积分.,例1. 计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解:,思考:,若 是球面,被平行平面 z =h 截,出的上下两部分,则,例2. 计算,解: 取球面坐标系, 则,例3. 计算,其中 是球面,利用对称性可知,解: 显然球心为,半径为,利用重心公式,例4. 计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,分析: 若将曲面分为前后(或左右),则,解: 取曲面面积元素,两片,则计算较繁.,例5. 求椭圆柱面,位于 xoy 面上方及平面,z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S .,解:,取,练习题. 设,一卦限中的部分, 则有(
14、).,十一、对坐标的曲面积分的计算法,定理: 设光滑曲面,取上侧,是 上的连续函数, 则,则有, 若,则有,如果积分曲面 取下侧, 则, 若,例1. 计算,其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方,体的整个表面的外侧.,解:,利用对称性.,原式, 的顶部,取上侧, 的底部,取下侧,解: 把 分为上下两部分,思考: 下述解法是否正确:,例2. 计算曲面积分,其中 为球面,外侧在第一和第八卦限部分.,例3. 设S 是球面,的外侧 , 计算,解: 利用轮换对称性, 有,例. 设,是其外法线与 z 轴正向,夹成的锐角, 计算,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 计算曲面积分,其中,解:
15、 利用两类曲面积分的联系, 有, 原式 =,旋转抛物面,介于平面 z= 0,及 z = 2 之间部分的下侧.,原式 =,是平面,在第四卦限部分的上侧 , 计算,提示:,求出 的法方向余弦,转化成第一类曲面积分,练习题. 设,高斯 ( Gauss ) 公式,定理. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲, 上有连续的一阶偏导数 ,函数 P, Q, R 在,面 所围成, 的方向取外侧,则有,(Gauss 公式),例. 用Gauss 公式计算,其中 为柱面,闭域 的整个边界曲面的外侧.,解: 这里,利用Gauss 公式, 得,原式 =,(用柱坐标),及平面 z = 0 , z = 3 所围空间,思考: 若 改为内侧, 结果有何变化?,若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?,例2. 利用Gauss 公式计算积分,其中 为锥面,解: 作辅助面,取上侧,介于 z = 0 及,z = h 之间部分的下侧.,
