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1、第二章 极限,2.1 数列极限 2.2 收敛数列 2.3 函数极限2.4 函数极限的定理,基本要求,1.深刻理解和熟练书写数列收敛和发散的 “ - N”定义. 2.学会应用数列收敛和发散的定义证明某些数列收敛于定数（发散），并记住一些重要的数列极限.,2.1 数列极限,极限思想,一尺之棰,日取其半,万世不竭.,（庄子天下篇）,所剩部分之长度为：,第1天,第2天,第3天,第 天,得到数列,例1.,例2.,刘徽的“割圆术”,割之弥细，所失弥少. 割之又割，以之于 不可割，则与圆合体而无所失矣.,A1,A2,如何用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.,A3,表示圆内接正6
2、边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积, , .,显然n越大, An越接近于S.,得到数列,数列的定义 按次序排列的一列无穷多个数.,数列是定义在自然数集N上的函数.即以N为定义域由小到大取值所对应的一列函数值.,函数值:,自变量:,数列极限的演示,数列极限的演示,以数列 为例, 说明极限定义的含义.,定义1 设有数列 , 是常数. 若对任 意 ,总存在正整数 ,对任意正整数 , 有 , 则称数列 的极限是 (或 是数列 的极限)或数列 收敛于 ( 是收敛数列)，表为 或 ( ). 若数列 不存在极限，则称数列 发散.,数列极限
3、概念:,数列 的极限是 ,用逻辑符号可简要表为:, 0, NN 当nN时 有|ana| .,上述定义简称为数列极限的 - N定义.,注: 1. 的任意性;2. N的相对性;3. 定义中“使得当nN时, 都有 | an a | ”,这句话是指: 凡是下标大于N的所有的an , 都满足不等式 |ana |.4.数列极限的几何意义*.5.数列发散的定义.,OK! We find the N ！,nN,数列极限的演示,NO, Some points are outside the band domain！,N,数列极限的演示,e gets smaller and smaller, N gets lar
4、ger and larger,要证明极限 ，只须证明，有 . “ ”是求证者给出的，给出 之后，要找 ,使 时，有不等式成立 . 因此找 是证明数列极限问题的关键，怎样找 ？应从解关于 的不等式 找 .满足此不等式的是正整数集 的无限子集（从某个正整数以后的所有正整数），已知 不是唯一的，只需在此无限子集中任意取一个正整数作为 即可.,例,1. 证明 .2.证明 常数列 的极限是c.3.证明 其中4. 证明 （k为正实数）.,2.2 收敛数列,一、收敛数列的性质,定理1(唯一性)每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,故收敛数列极限唯一.,定理2(有界性) 若数列 收敛,则数列 有界.,证,
5、由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.例,.,有界,故,n,x,定理3 (保序性) 若 与 ， 且 ,则 有 . 推论1 若 且（ ）, 则 （ ）.推论2 若 ,且 ,则,有 （ ）.,定义(四则运算). 若an和bn是两个数列, 则an bn, an bn, an bn, 分别称为 的和、差、积、商数列.,二、收敛数列的四则运算,定理,例,2. 求,3*. 求,三、数列的收敛判别法,定理 (两边夹定理) 设 是三个数列.若 有 且 ,则 . 推论 若有两个数列 与 且 有 ，又 ,则,例. 证明求极限,公理 (实数连续性) 单调有界数列必有极限,又因为,这是一
6、个超越无理数！自然对数的底,例 证明数列,收敛, 并求其极限.,例12,证明数列 收敛，其中,且,充分性的证明从略。,注释：1-4,例,若则数列 收敛.,证明: 若 ,则数列 发散.证法: 由柯西收敛准则的否定叙述. 证明:有根据柯西收敛准则的否定叙述，数列 发散.,(m项),四. 数列的子列,定义,设有数列 ,若 是一列,正整数，且,则称 是数列 的一个子列.,定义,数列 本身以及 去掉有限项后得到,的子列称为 的平凡子列.,不是平凡子列的子列称为 的非平凡子列. 奇子列 ，偶子列 .注：,定理10.,数列 收敛于 当且仅当 的,定理9.,数列 收敛于a,奇子列 与偶子列 均收敛于 .,则
7、的任一子列都收敛于a.,证,证毕,定理9证明,的任一子数列,是数列,设数列,n,n,a,a,k,2.3 函数极限,一、函数在无限远处的极限,x,x,y,y,o,o,1,1,1,1,.,.,.,.,.,定义1,或,或,定义,定义3,或,定义2,或,对任意给定的0,总存在M0,使当x进入区域 之内时,曲线y=f(x)上的点M(x,f(x)必落在水平直线y=b与y=b+之间的带形区域之内.,的几何意义:,为了明显地看到它们的异同，将三个函数的极限定义列表对比如下：,的充分必要条件是,定理 若函数 有定义,证明,二、当 时函数 的极限,定义,几点说明:,(1)由定义可知,极限 是否存在或存在时极限为何
8、值,与f (x)在a处是否有定义或有定义时的函数值f (a)无直接关系.,(2)定义中的是任意给定的,用来刻画函数f (x)与常数b的接近程度; 随而定,用来刻画 x与 a的接近程度.,(3)极限 的几何意义是:对任意给定的正数(无论多么小),总存在0,使当动点x进入定点a的空心邻域 之内时,函数f(x)之值进入点b的邻域(b,b+)之内,即曲线y=f(x)上的所有点M(x,f(x)必落在直线y=b与y=b+之间的矩形区域ABCD之内.,(4)定义中xa的方式是任意的,x既可从a的左侧趋于a,也可从a的右侧趋于a.,函数极限的演示,d,d,Hi, Find it!,d,d,这样的d 也能用,看
9、来有一个d 符合要求,就会有无穷多个d 符合要求!,函数极限的演示,d1,d1,Hi, d Find it!,左极限:,右极限:,左右极限定义,定理 证明:,“ ”由定义2、3可证.,例证明,三、无穷大,定义 设函数 f (x)在某邻域U a有定义. 若对于任给的正数G, 存在某正数, 使得 当x U a, (U a) 时有| f (x) | G, (2) 则称函数 f (x)当 x a时“极限”是无穷大, 或函数在 a 发散到无穷大，或函数在 a 具 有非正常极限.记作,的定义:,存在正数M, 使得当x M时,有 f (x) G.,的定义:,存在正数N, 使得当n N时,有 an G.,类似
10、地可以给出发散于 的定义; 同样可以定义其他不同趋向以及数列的 非正常极限.,任给正数G,任给正数G,注: 1. 无穷大量不是很大的数, 而是以无 穷为极限的函数；2. 若 f (x)为 x a时的无穷大量, 则 f 为U a上的无界函数; 3. 无穷大的计算P80.反之, 无界函数不一定是无穷大量P119.,所有以 和 为极限的函数 (包括数列)都称为无穷大或无穷大量.,证明:,四、无穷小量,定义 若函数 f (x)当x趋于a时极限等于零, 则称这个函数为x趋于a时的无穷小量.对于数列同样可以定义无穷小量. 函数为无穷小量有六种情形.,无穷小量的性质: 两个(相同类型的)无穷小量之和或积仍为
11、 无穷小量; 2.无穷小量乘有界量仍为无穷小量. 3. 充要条件是f (x) = A + , 其中 满足,定理 (i) 若 f (x)为x a时的无穷小量, 且在 U a 内 f (x)不等于零,为 x a 时的无穷大量.,(ii) 若 g(x) 为 x a 时的无穷大量, 则,为 x a 时的无穷小量.,则,2.4 函数极限的定理,一、函数极限的性质下面我们以 为例,讨论收敛数列的一些定理，同理易写出其它五种函数极限的相应的定理. 定理1 （唯一性）若函数 在 存在极限,则它的极限是唯一的. 证法：设 与 ,只须证,定理2 (局部有界性)若 则 有证法： ,可找到 .定理3 (保序性)若 ,且 ，则 有,
