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1、,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,第三章 有限差分方法,有限差分方法 构造差分格式的方法 模型方程的差分格式 差分方法的基本理论 双曲型方程特征分析 典型的差分格式,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,有限差分方法,有限差分方法：采用截断的Taylor级数来近似微分方程，是导数定义的直接应用。 有限元方法：采用问题的变分原理或带权余数法来控制每一元素的近似解与真实解的误差，其网格单元是非结构形式的。 有限体积方法：采用对守恒方程的积分形式进行离散求解。,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,有限差分方法,建立方程及边界条件,网格划分及方程离散化
2、,差分方程的建立,差分方程的求解,有限差分方法的基本步骤,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,有限差分方法,建立方程及边界条件,控制方程(抛物型),初始条件,边界条件,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,有限差分方法,网格划分及方程离散化,(j,n),j x,x,t,0,1,x,n,x,在微分方程的求解问题中x和t是连续变化的，可取求解域内任一点的值，而用差分法求解时，x和t仅取网格点上的值，相应的物理量及其导师也是网格点上的值，求解的问题离散化了。,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,有限差分方法,差分方程的建立,R,P,Q,t,u,XJTU,
3、西安 2005年3月,计算流体动力学课程,有限差分方法,差分方程的建立,在时间上是一阶精度、空间上是二阶精度的差分计算格式，是控制方程的微分方程。,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,有限差分方法,差分方程的求解,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,2.构造差分格式的方法,一阶显示差分格式的建立,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,2.构造差分格式的方法,一阶导数的差商表达式,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,2.构造差分格式的方法,二阶导数的差商表达式,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,3.模型方程的差分格式
4、,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,3.模型方程的差分格式,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,3.模型方程的差分格式,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,4.差分方法的基本理论,差分方程的相容性,如果偏微分方程和它的差分表达式之间的截断误差，随网格变细而减少，或者说当网格间距或步长趋于零时，截断误差亦趋于零。则称该偏微分方程的差分方程是相容的。,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,4.差分方法的基本理论,差分方程的稳定性,数值稳定性的概念仅适用于可推进求解的问题，例如双曲型方程的初值问题。 在利用推进方法数值推进求解差分方程的
5、过程中，如果初始误差的增长有界，则称差分方程是稳定的。,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,4.差分方法的基本理论,差分方程的稳定性,设偏微分方程的精确解是A，偏微分方程的差分表达式的精确解是D，偏微分方程的差分表达式的数值解是N。 离散误差A-D 舍入误差D-N 总误差(A-D)+(D-N) 舍入误差是计算过程中产生的，如果计算过程中因舍入误差而引起总误差的增长，称计算格式是强不稳定的。当舍入误差随计算过程减小时，称为弱稳定。,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,4.差分方法的基本理论,差分方程的收敛性,如果网格间距或步长趋于零，差分方程的真解趋于具有同样边界
6、和初始条件的微分方程的真解，则称计算用的差分方程或差分格式是收敛的。,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,4.差分方法的基本理论,Lax等价定理,起始值问题是适定的（微分方程的起始值问题的解存在、唯一、连续依赖于初值）； 偏微分方程是线性的，且系数不明显依赖于时间； 偏微分方程的差分方程是线性的，且满足相容性条件，则稳定性是收敛性的必要和充分条件。 一个可用的差分格式，除了满足相容性要求外，还必须满足稳定性和收敛性条件。,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,5.双曲型方程特征分析,特征线、依赖区和影响区,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,5.双
7、曲型方程特征分析,特征线、依赖区和影响区,沿ksi为常数的线，特征变量为保持为常数；沿eta为常数的线，特征变量我保持为常数，这些线称为特征线。,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,5.双曲型方程特征分析,特征线、依赖区和影响区,x,t,0,P,(x0,t0),A,B,依赖区,影响区,双曲型方程的依赖区和影响区,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,5.双曲型方程特征分析,CFL条件,CFL(Courant-Fridrichs-Lewy)条件：,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,6.典型的差分格式,XJTU,西安 2005年3月,计算流体动力学课程,6.典型的差分格式,
