自动控制原理(上)第3章控制系统的时域分析

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1、系统分析是探讨闭环控制系统结构参数、输入作用与系统性能及其性能指标之间的关系，进而提出改善系统性能的措施。掌握控制系统的分析方法是对当今控制工程师的基本要求。本章讨论控制系统的时域分析法。,第3章 控制系统的时域分析,3.1 引言,第3章 控制系统的时域分析,1,3.2 线性定常控制系统的稳定性及稳定判据,3.3 控制系统的稳态误差,3.4 控制系统的动态性能分析,3.5 线性系统的基本控制规律PID控制,2,3.6 用MATLAB对系统进行时域分析,1,1,1,1,1,3.1 引言,3,本章进行控制系统的时域分析，是根据系统的微分方程或传递函数，以拉普拉斯变换作为数学工具，通过研究系统对典型

2、输入信号的时间响应，分析研究各类系统响应随时间的变化规律，评价系统的性能是否满足生产过程工程实际对控制系统稳、准、快的要求。,建立合理的数学模型是对系统进行分析的第一步工作。一旦获得系统的数学模型就可以采用各种不同的方法时域分析法、根轨迹法和频域分析法分析系统的性能。“分析”是指分析系统的稳定性、稳态性能和动态性能，同时还可得出改善系统性能的措施。相比之下，时域分析法最为直观、易懂、且较为准确，可以提供系统响应的全部信息。,3.1 引言,4,一、典型输入信号二、控制系统时域响应的性能指标,3.1 引言,系统的时域响应（即系统的运动，“运动”泛指系统中物理量随时间的变化），不仅取决于系统本身结构

3、和参数，还与系统的初始状态及输入信号有关。现实中控制系统的输入信号具有不确定性而无法预先知道。在分析和设计控制系统时，需要一个对各种控制系统性能进比较的基础，即在规定的初始状态下，给系统加上预先规定的一些典型信号比较各种系统对典型信号的响应来评价系统性能。评价系统需要用相应的性能指标来衡量。性能指标可以在时域中提出，也可以在频域中提出。工程实际中的控制系统都是在时域中运行的，时域性能指标更直观，通常是采用系统时域响应曲线上的一些特征点来衡量系统性能。显然，只有对稳定的系统，研究其性能指标才有意义。,5,一、典型输入信号,6,“典型输入信号”是指很接近实际控制系统经常遇到的 输入信号，在数学描述

4、上加以理想化后，可采用较简单 的函数表达；便于数学分析且便于实验提供；还必须考 虑使系统处于最不利情况下的输入信号形式。在控制工 程中，常用的典型输入信号有以下几种 1阶跃函数 2. 斜坡函数（等速度函数） 3. 加速度函数 4. 脉冲函数 5. 正弦函数,一、典型输入信号,7,阶跃函数如图3-1所示，其数学表达式为式中， 为常数，阶跃函数的拉普拉斯变换为 。 当 时称为单位阶跃函数,1.阶跃函数,常记为 ，单位阶跃函数的拉普拉斯 变换为 。,一、典型输入信号,8,阶跃函数在 时有一个幅度为 的突然变化，相当于在时间 为 时将一个定常信号突然加到系统上。实际中，电源的突然接通、断开，负荷的突变

5、等等都属于这类性质的信号。由于阶跃函数在起始时间变化十分迅速，对系统是最不利的一种输入形式。,一、典型输入信号,斜坡函数如图3-2所示。它的数学表达式为,式中，R为常数。斜坡函数代表信号随时间的变化率为常数的一类典型信号，所以斜坡信号也称为等速度信号。斜坡函数等于阶跃函数对时间的积分，它对时间的导数就是阶跃函数。 若 则称为单位斜坡函数，单位斜坡函的拉普拉斯变换 。,2、斜坡函数（等速度函数）,在实际中某些自动控制系统的输入信号形式接近于斜坡函数，例如跟踪直线飞行目标（如飞机、通信卫星等）的跟 踪系统，输入信号随时间逐渐增、减变化的控制系统。,9,一、典型输入信号,式中 为常数。 时称为单位加

6、速度函数, 其拉普拉斯变换为 。加速度函数如图3-3所示。加速度函数等于斜坡函数对时间的积分，它对时间的导数就是斜坡函数。,加速度函数的数学表达式为,3、加速度函数（抛物线函数）,实际中，航天飞行器控制系统的输入信号接近于抛物线 形式，可用加速度函数近似描述。,10,一、典型输入信号,脉冲函数的数学表达式为,式中 为常数， 为无穷小。脉冲函数如图3-4所示，图中的脉冲面积等于 ，脉冲面积 反映了脉冲的强度。当 、 时，称为单位脉冲函数 ，其幅值很大（理论上为无穷大）但其面积仍是1。即函数是强度为1的脉冲信号，它满足且 。,4、脉冲函数,11,一、典型输入信号,并具有性质 ，式中， 为时间函数。

7、单位脉冲函数 的拉普拉斯变换为 ，强度为 的脉冲函数可表示为 。应注意，单位脉冲函数 只有数学上的定义，在现实中并不存在，但却是在控制系统的分析中重要的数学工具。单位脉冲函数 可以认为是单位阶跃函数在间断点的导数，即反之， 函数的积分就是单位阶跃函数。实际中输入给定信号类似脉冲函数的控制系统并不多见，但有的系统的干扰信号有类似脉冲函数的性质。,12,一、典型输入信号,正弦函数的数学表达式为,式中 为振幅， 为角频率。系统对不同频率的正弦函数输入的稳态响应称为频率响应。用它来分析和设计自动控制系统称为频域分析，详见第5章内容。,5、正弦函数,13,一、典型输入信号,在控制系统的分析和综合校正中，

8、究竟选哪一种典型函数作输入信号最为合适，取决于系统在正常工作条件下最常见的和最不利的输入信号形式。,典型输入信号的选取,对线性定常系统来说，若输入作用间存在着导数（积分） 关系，则输出响应之间也存在着相应的导数（积分）关系。因 此分析系统动态性能时，选取一种能代表系统大多数实际状况、 易于实现又便于系统分析和设计的典型输入作用下的响应进行 研究即可。,由于系统的性能主要取决于系统的结构与参数，因而无论采用何种信号作典型输入，对同一个线性控制系统而言，尽管得到不同的输出响应，其动态过程表征的系统性能却都是一致的。,14,一、典型输入信号,为分析简明起见，认为控制系统的初始状态为“零初值” 。这意

9、味着在受到外输入作用前，系统输出量 及其对时间的各阶导数均等于零，即在 时， ， 系统处于相对静止状态。这符合大多数系统的实际工作情况，研究系统的响应只需处理零状态响应，完全适合于用传递函数来进行研究。,控制系统的初始状态,15,二、控制系统时域响应的性能指标,一般认为阶跃输入信号包含的频带宽，变化最激烈，阶跃输入对系统是最严峻的工作状态，所以阶跃响应最能体现系统性能。单位阶跃信号又是一个最简单、最容易实现的信号。如果一个系统承受阶跃输入信号且能得到较好的输出响应，则在其他输入信号（如斜坡信号等）作用时系统输出性能也能令人满意。通常将零初值条件下、系统在单位阶跃信号作用下的响应称为单位阶跃响应

10、，并按对其定义的时域性能指标衡量控制系统性能的优劣。,控制系统的时间响应 ，由稳态响应 和动态响应 两部分组成，可表示为 。,16,二、控制系统时域响应的性能指标,稳态响应 ：也称为稳态过程，是指在典型输入信号作用下，当 时系统的输出状态。稳态响应表征了系统输出量最终复现输入量的程度，提供控制准确性（精度）的信息，由稳态性能来描述。,研究系统响应时，必须对稳态响应和动态响应的特点、性能 及有关的指标加以探讨。稳定的系统的时域响应分析才有意义。,动态响应 ：又称为过渡过程或动态过程、瞬态过程， 是指在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状 态的响应过程。随系统结构、参数不同，动态响应可

11、能呈现为 衰减、发散或等幅振荡等不同形式；显然，能实际运行的控制 系统的动态系统必须是衰减的，即系统必须是稳定的。动态响 应提供了系统稳定性(平稳性)及响应过程快速性的信息，由动 态性能描述。,17,二、控制系统时域响应的性能指标,当系统输入 时，典型的单位阶跃响应曲线 如图3-5所示。衡量控制系统的性能指标包括稳态性能指标和动态性能指标，各主要动态性能指标均示于图3-5中。,稳态误差 指稳定的系统加上给定输入或外界干扰，经过足够长的时间后，系统稳态响应的实际值与期望值之间的误差。 是系统控制精度或抗干扰能力的一种度 量，评价控制系统准确性的指标。,2.动态性能指标（1）上升时间 ：响应曲线从

12、零上升到第一次达到终值 所需的时间。终值又称为稳态值。,1.稳态性能指标-稳态误差,18,二、控制系统时域响应的性能指标,对于单调上升的过程，上升时间 定义为响应曲线从终值 的10% 上升到终值的90%所需的时间。,（4）最大超调量 ：动态过程中响应超过终值的最大偏离 与响应终值 之比的百分数，即,（2）峰值时间 ： 越过终 值达到第一个峰值所需时间。,（3）调节时间(过渡过程时间) ：响应达到并保持在终值的5%(或2%)范围内所需的最小时间。终值 的5%（或2%）称为误差带 。,19,二、控制系统时域响应的性能指标,此外，还可用延迟时间 td 反映系统响应初期的快速性，延迟 时间 td 是指

13、响应曲线 y(t) 达到其终值的50%所需的时间；有的系 统还用调节时间 ts 内 y(t) 的振荡次数 N 反映动态过程的平稳性。,上述 tr 和 tp 评价系统响应速度； 则说明了系统平稳性 (相对稳定性)； ts 从总体反映系统快速性，常将 和 ts 作为 系统主要动态性能指标。,20,3.2 线性定常系统的稳定性及稳定判据,一、稳定的基本概念二、线性系统稳定的充分必要条件三、劳斯稳定判据 四、系统参数对稳定性的影响五、系统的相对稳定性和稳定裕量 六、结构不稳定系统及其改善,21,一、稳定的基本概念,稳定性是控制系统的重要性能。控制系统能正常工作的首要条件，就是系统在全部时间内必须是稳定

14、的。研究系统稳定性、分析系统稳定的条件并提出保证系统稳定的措施，是控制系统分析与设计的基本任务之一。本书只讨论线性定常系统稳定性。,在控制系统的动态特性中最首要的是绝对稳定性。如果控制 系统没有受到任何干扰作用，系统的输出量保持在某一状态上， 则系统处于平衡状态。任何系统在扰动作用下，都会偏离原有的 平衡状态。系统的稳定性问题，指的是在扰动消失后，这个系统 能否靠自身能力回到原来的平衡状态。可由图3-6示例说明。,线性定常系统的稳定性可分为绝对稳定性和相对稳定性。绝 对稳定性指系统是否稳定。实际系统不仅必须是稳定的，还应具 备一定的稳定程度，即系统的相对稳定性，它是与系统动态性能 密切相关的。

15、,22,一、稳定的基本概念,图3-6a所示，当摆位于平衡位置A时，在外力 作用下摆偏离平衡位置A，当 去掉后，经过一段时间的减幅摆动后，可以重新回到A点，称A点是稳定的平衡点；反之，图3-6b中平衡位置B上的摆，如有任何外界干扰，摆离开了B点后，靠自身能力永 远不能再回到原平衡点B，B点称为不稳定 平衡点。上例所讲平衡状态稳定与否的概 念可推广到线性定常控制系统 ，我们关 心的是控制系统的运动稳定性，是系统微分方程在不受任何外界输入作用下，系统方程的解在时间 时的渐近行为，即系统齐次微分方程的解。可以证明，线性系统运动稳定性与平衡状态稳定性是等价的。,23,一、稳定的基本概念,由此可知，线性定常系统的稳定性是去掉干扰后 系统自身的一种恢复能力，是系统的固有特性，仅取 决于系统的结构与参数，与初始条件和外作用无关。,