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1、2018/9/14,1,第四章 随机变量的数字特征,数学期望,2018/9/14,2,4.1 数学期望,例4.1：某自动化车床在一天内加工的零件中，出现次品的数量X是一个随机变量。由多日统计，得X的分布律如下：,问车床平均一天出几个次品？,2018/9/14,3,数学期望,设车床工作100天，按分布律，理想化后 可得平均值为,2018/9/14,4,4.1.1 数学期望的定义,若级数 不收敛,我们称X的数学期望不存在.,2018/9/14,5,例4.2 X服从01分布,则E(X)=p,2018/9/14,6,泊松分布的期望,例4.3 设X ，则 E(X) = 。,2018/9/14,7,离散随
2、机变量无期望例子,2018/9/14,8,连续型随机变量的数学期望,定义 4.2若连续型随机变量Xf(x), 如果 广义积分,此积分为随机变量X的数学期望,记为,绝对收敛，则称,2018/9/14,9,连续型随机变量的数学期望,2018/9/14,10,连续型随机变量的数学期望,2018/9/14,11,例4.4 分布的数学期望,X的密度函数:,解:,2018/9/14,12,4.1.2 随机变量函数的期望,定理4.1 设X为随机变量，Y=g(X)是X的 连续函数或单调函数,则,(1)若离散型随机变量XPX=xk=pk,k=1,2, 如果级数,绝对收敛，则,2018/9/14,13,X,P,g
3、(x),P,2018/9/14,14,4.1.2 随机变量函数的期望,(2)若连续型随机变量Xf(x), 如果广义 积分,绝对收敛，则,2018/9/14,15,证明：,2018/9/14,16,证明过程,2018/9/14,17,2018/9/14,18,例4.6,某车站开往甲地的班车每小时10分,40分 发车,一乘客因不知车站发车的时间,在每 小时的任意时刻都随机到达车站,求乘客 的平均等待时间.,解: 设乘客到达车站的时间为X,等车时间 为Y,则XU0,60,且,2018/9/14,19,例4.6,于是,乘客的平均等待时间E(Y)为:,2018/9/14,20,连续型随机变量期望不存在的
4、例子,2018/9/14,21,例,2018/9/14,22,定理4.2 设(X,Y)为二维随机变量,Z=g(X,Y)是(X,Y)的连续函数,(1) 若离散型随机变量(X,Y)PX=xi Y=yj)=pij, i,j=1,2,二维随机变量函数的期望,绝对收敛,则,如果级数,2018/9/14,23,二维随机变量函数的期望,(2)若连续型随机变量(X,Y)f(x,y), 如 果广义积分,绝对收敛，则,2018/9/14,24,设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY),例4.5(二维离散型的数学期望),解:,2018/9/14,25,例4.7,2018/9/14,26,例4.7,2018/9
5、/14,27,例4.7,2018/9/14,28,4.1.3 数学期望的性质,证:,(常数的期望等于它本身),(期望有线性性质),2018/9/14,29,数学期望具有可加性,证,2018/9/14,30,(4)设Xi(i=1,2,n) 是n个随机变量，Ci (i=1,2,n) 是n个常数，则,-线性性质,4.1.3 数学期望的性质,(5) 若X与Y独立，则E(XY)=E(X).E(Y),(独立时,乘积的期望等于期望的乘积),2018/9/14,31,例4.8(数学期望的性质),2018/9/14,32,例4.8(续),2018/9/14,33,例4.9 设 X Bn, p,则 E(X) =
6、np,解: 设 X表示n次独立重复试验中事件A发生的次数，,则,而,故,2018/9/14,34,例4.10(数学期望的线性性质),2018/9/14,35,例4.10,2018/9/14,36,课堂练习,2018/9/14,37,4.2 方差,方差的定义及计算,定义4.3 设X是随机变量，若E(X-E(X)2存在，则定义D(X)= E(X-E(X)2 称其为随机变量X的方差，记作D(X)或Var(X)，称 为标准差。,(方差本质是随机变量函数的期望),2018/9/14,38,方差的表现形式,2018/9/14,39,方差的计算式,(实数),2018/9/14,40,例：,2018/9/14
7、,41,2018/9/14,42,2018/9/14,43,例4.11 泊松分布的方差,2018/9/14,44,例4.11 泊松分布的方差,2018/9/14,45,例4.12 -分布的方差,-分布 (，),2018/9/14,46,例4.12 -分布的方差,2018/9/14,47,4.2.2 方差的性质,(常数的方差等于0),2018/9/14,48,性质3的证明,证明:,X与Y独立,2018/9/14,49,(4)设Xi(i=1,2,n) 是相互独立的n个随机变量，ci (i=1,2,n) 是n个常数，则,(5) DX=0 存在常数c ，使得PX=c=1。事实上c=EX。,4.2.2
8、方差的性质,2018/9/14,50,0-1分布的数学期望和方差,E(X)=p,E(X2)=p,D(X)= E(X2)-E(X)2=p-p2=pq,2018/9/14,51,二项分布B(n,p)的方差,设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,2018/9/14,52,其它结论,2018/9/14,53,例4.14 计算数学期望及方差,设随机变量X，Y，Z相互独立，且已知X U（1，3），Ye(2)，Z（3，2），设 W=2X+3XYZ-Z+5，求E（W）； (2)U=3X-2Y+Z-4，求D（U）。,解：E(X)=2，E(Y)=1/2，E(Z)=3/2，且X，Y，Z 相互独立，故得,
9、2018/9/14,54,例4.14 计算数学期望及方差,2018/9/14,55,2018/9/14,56,$4.2.3 变异系数 矩及中心矩,2018/9/14,57,定义4.5,2018/9/14,58,原点矩和中心矩的关系,2018/9/14,59,例4.15 原点矩和中心矩的计算,2018/9/14,60,例4.15,2018/9/14,61,例4.15,2018/9/14,62,随机变量的标准化,设随机变量X的数学期望E(X),方差D(X) 均存在，且D(X) 0，定义一个新的随机 变量,则 E(X*)=0,D(X*)=1。 称X*是随机变量X的标准化了的随机变量。,2018/9/
10、14,63,定义4.6:设(X，Y)为二维的随机变量，Cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y). 称为X与Y的协方差;,4.3.1协方差,Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y).,协方差的计算式为:,特别地, Cov(X,X)=D(X),2018/9/14,64,协方差的性质,(1) Cov(X,Y) Cov(Y,X),(2) Cov(X,a) =0,(3) Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),(4) Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z),(6) 若X与Y独立，则Cov(X,Y)=0,2018/9/14,65,二维向量的数字特征,对二维随机变量(X,Y),
11、称向量,为(X,Y)的协方差矩阵.可推广到n维.,称矩阵,为(X,Y)的数学期望(均值向量).,2018/9/14,66,例4.16 (X,Y)有二维分布律,XY,0 1 2,0 1,1/6 1/12 1/6,1/12 1/3 1/6,求(X,Y)的数学期望和协方差矩阵.,解: (1)先求X,Y的边缘分布律;,2018/9/14,67,例4.16,(2)计算X,Y的期望和方差,得:,(3)为计算Cov(X,Y),必须计算二维随机 变量函数Z=XY的期望:,2018/9/14,68,例4.16,2018/9/14,69,例4.17,随机变量,且X,Y独立,求D(3X-2Y+Z),解:本题主要考察
12、协方差的性质,D(3X-2Y+Z)=D(3X-2Y)+D(Z)+2Cov(3X-2Y,Z),D(3X-2Y)=?,=D(3X)+D(2Y),2Cov(3X,Z) -2Cov(2Y,Z),2Cov(3X-2Y,Z)=?,2018/9/14,70,例4.17,2018/9/14,71,标准化以后的随机变量协方差,常数,2018/9/14,72,定义4.4 若随机变量 X，Y的方差和协方差均存在, 且D(X)0,D(Y)0，则,称为X与Y的相关系数.,4.3.2 相关系数,2018/9/14,73,相关系数的性质,定理4.4 (1)R(X,Y)=R(Y,X),(2)|R(X,Y)|1,(3)|R(X
13、,Y)|=1的充要条件为:存在常 数a,b,且a0,使得P(Y=aX+b)=1,特别地,若a0,可得R(X,Y)=1,称为 正线性相关;反之,称为负线性相关;,2018/9/14,74,f(t)是关于t的一元二次方程，对任意t都有,证明：(2)|R(X,Y)|1,2018/9/14,75,定理4.4的证明,2018/9/14,76,定理4.4的证明,2018/9/14,77,X,Y的线性相关性,2018/9/14,78,课堂练习,2018/9/14,79,独立与不相关,X,Y独立时,可以推出Cov(X,Y)=0, 因而可以推出R(X,Y)=0,即不相关; 反之不一定成立; 也就是说,X,Y不相
14、关不能说明X,Y独立.,例4.19 设XU(-1,1),Y=X2则X,Y不相 关.,解:,2018/9/14,80,例4.19,2018/9/14,81,例4.20,设二维随机变量(X,Y)在G上服从均匀分布 其中,求X,Y的期望与方差; 证明:X与Y不相关,不独立；,解:写出(X,Y)的联合密度函数,x+y=1,x-y=1,2018/9/14,82,例4.20,再分别求出X,Y的边缘密度函数:,同理:,从而:,同理:,x+y=1,x-y=1,2018/9/14,83,例4.20,x+y=1,x-y=1,可见,X,Y不相关,但是在G中,所以,X,Y不独立.,2018/9/14,84,例4.20,2018/9/14,85,补充例子,2018/9/14,86,2018/9/14,87,
