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1、第4章 计算机辅助设计 Computer Aided Design ( CAD ) 主讲：姜华 E-mail：,4.3 工程数据的处理方法,三、列表函数表的插值计算,设有一用数据表格给出的列表函数 ，如下表所示：,由于列表函数只能给出结点 处的函数值，当自变量为结点的中间值时，就要用插值法求取其函数值。,列表函数,插值法的基本思想：是在插值点附近选取几个合适的结点，用这些选取的点构造一个简单函数 g(x)，在此小段上用 g(x)代替原来函数 f(x)，这样插值点的函数值就用 g(x)的值来代替。插值的实质问题是：如何构造一个既简单又具有足够精度的函数 g(x)。,1. 一维列表函数表的插值 （
2、1）线性插值,线性插值就是构造一个线性函数 g(x)来代替原先的函数 f(x)，如图4-8所示。,插值步骤如下：,图4-8 线性插值, 从表格中选取两个相邻的自变量 x i 、x i+1 ，满足下列条件： x i x n ，则每一结点处的偏差为：,为获得最佳拟合曲线，根据最小二乘法原理，即要求每一结点的 偏差 D i 的平方和最小，则结点偏差的平方和为：,（4-11）,这表明偏差平方和是系数 的函数。为使其最小， 取对各自变量的偏导数等于零：,求各偏导数并经整理得到：,（4-12）,令,得,即,（4-13）,亦可写成下面的方程组：,（4-13）,上式中待求的系数 共有 (n +1) 个，方程也
3、是 (n +1)个，因此组成 线性联立方程组，解此线性联立方程，即可求得多项式 y(x) 中的各项系数。,在求得多项式 y(x) 中的各项系数后，n 次多项式(4-10)便确定：,例：有一组实验数据，如下表 所示，它有 7个点，现要求用二次多项式拟合。,一组实验数据,解： 设经验公式为：,根据上述实验数据及经验公式可知： m7，n2 ，代入公式，得以下三个方程：,j0时,j1时,j2时,把Xi，Yi 用上表中的值代入，得,求解得：,最后得到拟合的经验公式为,工程中设计资料中的很多经验公式，就是对实验获得的数据数表通过曲线拟合的方法得来的。,最小二乘法的多项式拟合时要注意以下问题： 1）多项式的
4、幂次不能太高，一般小于7，可先用较低的幂次，如误差较大则再提高。 2）一组数据或一条线图有时不能用一个多项式表示其全部，此时应分段处理，分段大都发生在拐点或转折之处。,2. 最小二乘法的其他函数的拟合,除代数多项式外，根据情况还可采用：,(1)幂函数(2)指数函数 (3)对数函数,例如，若已知 m 组数据 ，i1，2，m，假设所拟合的指数函数曲线形式为：,lg y = lga + b lg x,令：,对上式指数函数两边取对数，得,先将已知数据 代入式中，求得相应的 值，再代入式得到在对数坐标系中的一个线性方程。与多项式曲线拟合相似，采用最小二乘法就可以得到上式中的系 数 v 和 b，再由 lg
5、 a v 求得系数 a 。,代入上式，得,4.5 计算机图形处理与三维造型,二维图形的基本几何变换类型包括： 平移变换 比例变换 旋转变换 对称变换 错切变换,三、二维图形的几何变换,(1) 平移变换,将二维图形从平面的一个位置移动到另一个位置，可用平移变换。平移变换后，图形只发生位置改变，形状大小及姿态均不变化。设 Tx 为x 向平移量， Ty 为y 向平移量，平移变换的变换矩阵为 ：,平移变换结果可见图4-16。,图4-16 平移变换,(2) 比例变换,设 S x 为 x 向的比例系数，S y 为 y 向的比例系数，则比例 变换的变换矩阵为：,当 S x，S y 1时， 图形放大；S x，
6、S y1时，图形不变化。,图4-17所示的比例变换 中，S xS y2。,图4-17 比例变换,(3) 旋转变换,点或平面图形绕坐标原 点旋转一定角度之后成为 变换后的点或图形，如图4- 18所示。,旋转变换矩阵为：,逆时针方向旋转，取正值； 顺时针方向旋转，取负值。,旋转变换后，图形的形状及大小不发生变化，只改变姿态。,(4) 对称变换,对称变换有多种，图4-19表示了对称于 x、y 轴和坐标原点 o 的几种对称变换。, 相于 x 轴的对称变换设对称轴为 x 轴，则对称变换的变换矩阵为：,相于 y 轴的对称变换设对称轴为 y 轴，则对称变换的变换矩阵为：,相对于坐标原点 o 的对称变换相对于
7、坐标原点 o 的对称变换，其变换矩阵为：,其特点是：变换前后 x 坐标值保持不变，而 y 坐标值符号相反。,其特点是：变换前后 y 坐标值保持不变，而 x 坐标值符号相反。,其特点是：变换前后 x、y 坐标值符号都相反。,(5) 错切变换,错切变换用于描述几何形体的扭曲和错切变形。常用的错切变换有两种： 沿 x 轴方向的错切变换；沿 y 轴方向的错切变换。,图4-20 错切变换,(1) 沿 x 向的错切变换经此变换后，y 坐标不变，使图形在 x 向发生错切变形。设 SH x 为切变系数，变换矩阵为：,(2) 沿 y 向的错切变换变换后，x 坐标不变，使图形在 y 向发生错切变形。设 SH y
8、为切变参数，变换矩阵为：,3. 组合变换,上述基本变换是以原点为中心的简单变换。在实际应用中，一个复杂的变换往往是施行多个基本变换的结果。对一图形连续进行多个基本变换，就形成了组合变换。相应的变换矩阵叫做组合变换矩阵。 几种典型的组合变换：, 平移组合变换 比例组合变换 旋转组合变换 相对于任意点的比例变换 绕任意点的旋转变换 对任意直线的对称变换,（1）平移组合变换,连续两次平移变换的组合矩阵 T 为：,（4-16）,上式表明：连续两次的平移变换，其平移矢量实质上是两次平移矢量的和。,（2）比例组合变换,连续两次比例变换的组合矩阵为：,（4-17）,上式表明：连续两次的比例变换，其结果是两次
9、比例因子的乘积。,（3）旋转组合变换,（4-18）,上式表明：连续两次的旋转变换，其结果是两次旋转角度的叠加。,连续两次旋转变换的组合矩阵为：,（4）相对于任意点的比例变换,(1)将图形向坐标原点方向平移，平移矢量为 ，使任意 点 与坐标原点重合；(2)对图形施行比例变换；(3)将图形平移回原始位置，平移矢量为 。因此，相对于任 意点的比例变换组合矩阵T 为：,如图4-21 所示，平面图形对任意点 作比例变换，该变换需通过以下几个步骤实现：,（4-19）,（5）绕任意点的旋转变换,如图4-22所示，平面图形绕任意点 旋转 角，该变换需通过以下几个步骤实现：(1)将旋转中心平移到原点，使任意点
10、与坐标原点重合；(2)将图形绕坐标原点旋转 角；(3)将旋转中心平移回原来位置。因此，绕任意点 的旋转 变换组合矩阵T 为：,（6）对任意直线的对称变换,如图4-23所示，假设图中所示任意直线用直线方程 表示，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距分别为C/A 和C/B，直线与x 轴的夹角为 ，则 。,(1) 沿 x 方向平移直线，平移距离为C/A，使直线通过原点；(2) 绕原点旋转 角，使直线与 x 轴重合；(3) 对 x 轴进行对称变换；(4) 绕原点旋转 角，使直线回到原来与 x 轴成 角的位置；(5) 沿 x 方向平移直线，平移距离为C/A，使直线回到原来的位置。通过上述五个步骤，即实现图形对任意直线的对称变换。该变换的变换矩阵T 为：,该变换可通过如下几步来实现：,本章结束,
