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1、3.2.2 空间线面关系的判定空间线面关系的判定(二二)垂直关系的判定垂直关系的判定一、基础过关1 已知平面 和平面 的法向量分别为 a(1,1,2),b(x,2,3),且 ,则 x_.2 已知 a(1,1,0),b(1,1,1),若 bb1b2,且 b1a,b2a,则 b1,b2分别为_3 已知(1,5,2),(3,1,z),若,(x1, y,3),且 BP平面ABBCABBCBPABC,则_.BP4 下列命题中,正确的命题是_(填序号)若 a 是平面 的斜线,直线 b 垂直于 a 在 内的射影,则 ab;若 a 是平面 的斜线,平面 内的直线 b 垂直于 a 在 内的射影,则 ab;若 a
2、 是平面 的斜线,b 是平面 内的一条直线,且 b 垂直于 a 在 内的射影,则ab;若 a 是平面 的射线,直线 b 平行于平面 ,且 b 垂直于 a 在另一平面 内的射影,则 ab.5 已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点,如果(2,1,4),AB(4,2,0),(1,2,1)对于结论:APAB;APAD;是平面ADAPAPABCD 的法向量;.APBD其中正确的是_(填序号)6 如图所示,在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足条件_时,有 A1CB1D1.(注:填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能情形)二、能力提升7 如图,在四棱
3、锥 PABCD 中,PA底面 ABCD,底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足_时,平面 MBD平面 PCD.(注:只要填写一个你认为正确的即可)8 如图所示,在直三棱柱 ABCA1B1C1中,底面是以ABC 为直角的等腰三角形,AC2a,BB13a,D 是 A1C1的中点,点 E 在棱 AA1上,要使 CE面 B1DE,则AE_.9 在棱长为 a 的正方体 OABCO1A1B1C1中,E、F 分别是 AB、BC 上的动点,且AEBF,求证:A1FC1E.10如图,已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长都为 1,M 是底面上 BC 边的中点,N 是侧棱 CC1上的点,且 C
4、N CC1.求证:AB1MN.1411如图所示,ABC 是一个正三角形,EC平面 ABC,BDCE,且CECA2BD,M 是 EA 的中点求证:平面 DEA平面 ECA.三、探究与拓展12如图所示,正方形 ABCD 所在平面与四边形 ABEF 所在平面互相垂直,ABE 是等腰直角三角形,ABAE,FAFE,AEF45.(1)求证:EF平面 BCE;(2)设线段 CD、AE 的中点分别为 P、M,求证:PM平面 BCE.答案答案14 2(1,1,0),(0,0,1) 3 4 5 6ACBD(337,157,3)7DMPC 8a 或 2a9证明 以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则
5、A1(a,0,a),C1(0,a,a)设 AEBFx,E(a,x,0),F(ax,a,0)(x,a,a),A1F(a,xa,a)C1E(x,a,a)(a,xa,a)axaxa2a20,A1FC1E,即 A1FC1E.A1FC1E10证明 设 AB 中点为 O,作 OO1AA1,以 O 为坐标原点,OB 为 x 轴,OC 为 y 轴,OO1为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得 A,B,(12,0,0)(12,0,0)C,N,(0,32,0)(0,32,14)B1.M 为 BC 中点,(12,0,1)M.(14,34,0),MN(14,34,14)(1,0,1),AB1 0 0.MNAB
6、11414,AB1MN.MNAB111证明 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz,不妨设 CA2,则 CE2,BD1,C(0,0,0),A(,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1)3所以(,1,2),(0,0,2),(0,2,1)EA3CEED分别设面 ECA 与面 DEA 的法向量是 n1(x1,y1,z1),n2(x2,y2,z2),则Error!Error!即Error!Error!解得Error!Error! Error!Error! 即Error!Error!解得Error!Error!不妨取 n1(1,0),n2(,1,2),因为 n1n20,所以两个法向
7、量相互垂直33所以平面 DEA平面 ECA.12证明 (1)ABE 是等腰直角三角形,ABAE,AEAB,又平面 ABEF平面 ABCD 且平面 ABEF平面 ABCDAB,AE平面 ABCD,AEAD. 即 AD、AB、AE 两两垂直故建立如图所示的空间直角坐标系,设 AB1,则 AE1,B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0)FAFE,AEF45,AFE90,从而 F,(0,12,12),EF(0,12,12)(0,1,1),(1,0,0)BEBC0,0,EFBEEFBCEFBE,EFBC,又BEBCB,EF平面 BCE.(2)M,P,(0,0,12)(1,12,0)从而.PM(1,12,12)于是0 0.PMEF(1,12,12) (0,12,12)1414PMEF.又 EF平面 BCE,直线 PM 不在平面 BCE 内,故 PM平面 BCE.