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1、3.2 空间向量的应用空间向量的应用32.1 直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量与平面的法向量一、基础过关1 已知 a(2,4,5),b(3,x,y)分别是直线 l1、l2的方向向量,若 l1l2,则x_;y_.2 设平面 的法向量为(1,2,2),平面 的法向量为(2,4,k),若 ,则k_.3 已知 l,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面 的法向量为,则 m_.(1,12,2)4 从点 A(2,1,7)沿向量 a(8,9,12)的方向取线段长 AB34,则 B 点的坐标为_5 若直线 l 的方向向量为 a(1,0,2),平面 的法向量为 u(2,0,4),则直线 l 与平面
2、的位置关系为_6 已知直线 l1的方向向量为 a(2,4,x),直线 l2的方向向量为 b(2,y,2),若|a|6,且 ab,则 xy 的值是_7 若 a(1,1,1),b(2,1,3),则与 a,b 都垂直的单位向量为_二、能力提升8 在正方体 ABCDA1B1C1D1中,以 D 为原点,建立空间直角坐标系如图所示,E、F 分别为 BB1和 A1D1的中点,则平面 AEF 的一个法向量是_9 已知直线 l 的方向向量 u(2,1,3),且 l 经过点 A(0,y,3)和 B(1,2,z),则y_,z_.10在正方体 ABCDA1B1C1D1中,E,F 分别是 BB1,DC 的中点,求证:是
3、平面AEA1D1F 的法向量11已知平面 经过三点 A(1,2,3),B(2,0,1),C(3,2,0),(1)试求平面 的一个法向量;(2)若 M(x,y,z)是平面 内任意一点,求 x,y,z 的关系式12如图,直三棱柱 ABCA1B1C1中,AA12ACAB,BAC90,D 是 CC1的中点,试求平面 AB1D 的一个法向量三、探究与拓展13如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中,CACB1,BCA90,棱 AA12,M,N 分别为 A1B1,A1A 的中点(1)求 BN 的长;(2)求与夹角的余弦值;BA1CB1(3)求证:是平面 C1MN 的一个法向量BN答案答
4、案16 24 38 4(18,17,17) 5l 61 或31527或(22142,54242,4242) (22142,54242,4242)8(4,1,2)(不唯一) 9 323210证明 设正方体的棱长为 1,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1,0,0),E,(1,1,12)D1(0,0,1),F,A1(1,0,1),(0,12,0),AE(0,1,12)D1F(0,12,1)(1,0,0)A1D1AED1F(0,1,12) (0,12,1) 0,12120,.AEA1D1AED1FAEA1D1又 A1D1D1FD1,AE平面 A1D1F,是平面 A1D1F 的法向量AE11解 (
5、1)A(1,2,3),B(2,0,1),C(3,2,0),(1,2,4),AB(2,4,3),AC设平面 的法向量为 n(x,y,z)依题意,应有 n0,n0.ABAC即Error!Error!,解得Error!Error!.令 y1,则 x2.平面 的一个法向量为 n(2,1,0)(2)(x1,y2,z3),AMn0.AM2(x1)(y2)0,即 2xy40.12解 方法一 不妨设 AC1,以 A 点为原点,以 AC、AB、AA1所在的直线分别为x、y、z 轴,建立空间直角坐标系 Axyz.则 A(0,0,0),D(1,0,1),B1(0,2,2)则(1,0,1),(0,2,2)ADAB1设
6、 n(x,y,z)是平面 AB1D 的法向量,则Error!Error!,Error!Error!,得Error!Error!.令 z1,得平面 AB1D 的一个法向量为 n(1,1,1)方法二 由(1,0,1),可设平面 AB1D 的一个法向量为 n(1,y,1)由ADn0,得 2y20,y1.AB1平面 ABD 的一个法向量为(1,1,1)13(1)解 如图所示,以 CA、CB、CC1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 Cxyz.依题意得 B(0,1,0),N(1,0,1),|BN,1020121023线段 BN 的长为.3(2)解 依题意得 A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2),(1,1,2),(0,1,2),BA1CB110(1)1223.又|,|,BA1CB1BA16CB15cos,BA1CB1.BA1CB1|BA1|CB1|3010(3)证明 依题意得 A1(1,0,2),C1(0,0,2),B1(0,1,2),N(1,0,1)M,(12,12,2),(1,0,1),C1M(12,12,0)C1N(1,1,1), 1 (1)100,BNC1MBN1212110(1)(1)10.C1NBN,C1MBNC1NBN又 C1MC1NC1,平面 C1MN.BN是平面 C1MN 的一个法向量BN