《高中数学（苏教版选修1-2）第3章 数系的扩充与复数的引入 章末复习提升3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学（苏教版选修1-2）第3章 数系的扩充与复数的引入 章末复习提升3（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1复数的概念(1)虚数单位 i；(2)复数的代数形式 zabi(a，bR)；(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数2复数集Error!Error!复数abi3复数的四则运算若两个复数 z1a1b1i，z2a2b2i(a1，b1，a2，b2R)(1)加法：z1z2(a1a2)(b1b2)i；(2)减法：z1z2(a1a2)(b1b2)i；(3)乘法：z1z2(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)i；(4)除法：z1z2121 21 22 1 22 22()()a abbaba b ab i(z20)；a1a2b1b2a2 2b2 2a2b1a1b2a2 2b2 2(5)实数四则运算的交换律、结合
2、律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：in(n 为正整数)的周期性运算；(1i)22i；若 i，则 31,120.12324共轭复数与复数的模(1)若 zabi，则 abi，z 为实数，z 为纯虚数(b0)zzz(2)复数 zabi 的模|z|，a2b2且 z |z|2a2b2.z5复数的几何形式(1)用点 Z(a，b)表示复数 zabi(a，bR)，用向量 O表示复数 zabi(a，bR)，Z 称Z为 z 在复平面上的对应点，复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数 0)(2)任何一个复数 zabi 一一对应着复平面内一个点 Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发的向量.
3、OZ6复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数 z1、z2对应的向量、不共线，则复数 z1z2是以、为两邻边的平行四OZ1OZ2OZ1OZ2边形的对角线所对应的复数OZ(2)复数减法的几何意义复数 z1z2是连接向量、的终点，并指向 Z1的向量所对应的复数.OZ1OZ2题型一 分类讨论思想的应用当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数当 xyi 没有说明 x，yR 时，也要分情况讨论例 1 已知复数 z(a25a6)i(aR)，试求实数 a 分别取什么值时，z 分别为a27a6a21(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解 (
4、1)当 z 为实数时，则有Error!Error!Error!Error!当 a6 时，z 为实数(2)当 z 为虚数时，则有Error!Error!Error!Error!a1 且 a6，即当 a(，1)(1,1)(1,6)(6，)时，z 为虚数(3)当 z 为纯虚数时，则有Error!Error!Error!Error!不存在实数 a，使 z 为纯虚数跟踪演练 1 当实数 a 为何值时，za22a(a23a2)i.(1)为实数； (2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内；(4)复数 z 对应的点在直线 xy0 上解 (1)zRa23a20，解得 a1 或 a2.(2)z 为纯虚数，则Er
5、ror!Error!即Error!Error!故 a0.(3)z 对应的点在第一象限，则Error!Error!Error!Error!a0，或 a2.a 的取值范围是(，0)(2，)(4)依题设(a22a)(a23a2)0，a2.题型二 数形结合思想的应用数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现它们得以相互转化涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等例 2 已知等腰梯形 OABC 的顶点 A、B 在复平面上对应的复数分别为12i，26i，OABC.求顶点 C 所对应的复
6、数 z.解 设 zxyi，x，yR，如图OABC，OCBA，kOAkBC，|zC|zBzA|，即Error!Error!解得Error!Error!或Error!Error!OABC，x23，y24(舍去)，故 z5.跟踪演练 2 已知复数 z1i(1i)3.(1)求|z1|；(2)若|z|1，求|zz1|的最大值解 (1)|z1|i(1i)3|i|1i|32.2(2)如图所示，由|z|1 可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为 1，圆心为 O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点 Z1(2，2)所以|zz1|的最大值可以看成是点 Z1(2，2)到圆上的点的距离的最大值由图知|zz1|m
7、ax|z1|r(r 为圆半径)21.2题型三 转化与化归思想的应用在求复数时，常设复数 zxyi(x，yR)，把复数 z 满足的条件转化为实数 x，y 满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要例 3 已知 z 是复数，z2i，均为实数，且(zai)2的对应点在第一象限，求实数 a 的取z2i值范围解 设 zxyi(x，yR)，则 z2ix(y2)i 为实数，y2.又 (x2i)(2i)z2ix2i2i15 (2x2) (x4)i 为实数，1515x4.z42i，又(zai)2(42iai)2(124aa2)8(a2)i 在第一象限Error!Error!解得 2a6.实数 a 的
8、取值范围是(2,6)跟踪演练 3 已知 x，y 为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求 x，y.解 设 xabi(a，bR)，则 yabi.又(xy)23xyi46i，4a23(a2b2)i46i，Error!Error!Error!Error!或Error!Error!或Error!Error!或Error!Error!Error!Error!或Error!Error!或Error!Error!或Error!Error!题型四 类比思想的应用复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，且要注意 i21.在运
9、算的过程中常用来降幂的公式有(1)i 的乘方：i4k1，i4k1i，i4k21，i4k3i(kZ)；(2)(1i)22i；(3)设 i，则 31，2 ，120， 2，3n1，3n1(nN*)等；12321(4)31；(1232i)(5)作复数除法运算时，有如下技巧：i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化abibai(abi)i(bai)i(abi)iabi例 4 计算：(1)(1i)(1i)；(1232i)(2)2014.2 3i12 3i(21i)解 (1)方法一 (1i)(1i)(1232i)(1i)(1232i12i32i2)(1i)(312312i)iii21i.3123123123
10、123方法二 原式(1i)(1i)(1232i)(1i2)21i.(1232i)(1232i)3(2)2014()10072 3i12 3i(21i)(2r(3)i)i(12r(3)i)i22iiii0.(2r(3)i)ii2 31i10071i跟踪演练 4 计算：.(2i)(1i)212i(1i)(1i)2i51i20151i解 (2i)(1i)212i(1i)(1i)2i51i20151i(2i)(2i)12i(1i)2ii1i1i2(i3)i12i.24i12i13ii(1i)22高考对本章考查的重点1对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念2对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数最后整理成 abi(a，bR)的结构形式3对复数几何意义的考查在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义
