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1、第第 8 8 课时课时 等比数列的应用等比数列的应用1.理解等比数列的定义、通项公式、前n项和公式的性质. 2.能应用等比数列的定义、通项公式、前n项和公式的性质解决相关的数列问题.前面我们共同学习了等比数列的定义、通项公式、前n项和公式等基本概念,理解了累 差法、归纳法、倒序相加法等,今天我们将共同探究等比数列的定义,通项公式,前n项和公 式的相关性质及其应用,这些性质在数列中地位重要.问题 1:等比数列通项公式的性质 (1)对任意的m,nN+,an=am ,q= . (2)若m+n=p+q,则 ,特别地,若m+n=2p,则 . (3)am,am+k,am+2k,am+3k,仍是等比数列,公
2、比为 . (4)数列an是等比数列,则数列pan(p0,p是常数)也是等比数列,公比为 . 若an为等比数列,公比为q,则a2n也是等比数列,公比为 . 若an为等比数列,公比为q(q-1),则a2n-1+a2n也是等比数列,公比为 . 若an、bn是等比数列,则anbn也是等比数列,公比是两等比数列公比之 .问题 2:等比数列的前n项和的简单性质 (1)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也是等比数列,且公比为 (q1). (2)当q1 时,Sn=Aqn+B(其中A+B= ). (3)Sn+m=Sm+qmSn(q为公比). 问题 3:等比数列的判定方法 (1)定义法:若 =q(q为非零常
3、数且n2),则an是等比数列; (2)等比中项法:若an0 且= (nN+),则an是等比数列; 2 + 1(3)通项公式法:若an=c (c,q均是不为 0 的常数,nN+),则an是等比数列;(4)前n项和公式法:若Sn=kqn+ (k为常数且k0,q0,1),则an是等比数 列. 问题 4:等比数列的单调性 (1)当a10,q1 时,等比数列an是递 数列; (2)当a10,01 时,等比数列an是递 数列; (5)当qcn(nN+).在等比数列an中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.在an中,a1=1,an+1=,试求数列an的通项an.+ 3已知函数f(x)=-x2+7x,数
4、列an的前n项和为Sn,点Pn(n,Sn)(nN+)均在函数y=f(x) 的图像上. (1)求数列an的通项公式及Sn的最大值;(2)令bn=,其中nN+,求nbn的前n项和Tn.21.在等比数列中,an0 且an+2=an+3an+1,则公比q等于( ).A. B. C.3 D.-33 13 23 +13 22.等比数列an的前n项和为Sn,若S6S3=12,则S9S3等于( ).A.12 B.23 C.34 D.13 3.一个等比数列an共有 2n+1 项,奇数项之积为 100,偶数项之积为 120,则an+1= . 4.一个等比数列的首项为 1,项数是偶数,其奇数项的和为 85,偶数项的
5、和为 170,求此数列 的公比和项数.(2009 年辽宁卷)设等比数列an的前n项和为Sn,若=3,则等于( ).6396A.2 B.C.D.37 38 3考题变式(我来改编):第 8 课时 等比数列的应用知识体系梳理问题 1:(1)qn-m (2)aman=apaq aman= (3)qk (4)q q2 q2 2积问题 2:(1)qm (2)0问题 3:(1) (2)anan+2 (3)qn (4)-k 1问题 4:(1)增 (2)增 (3)减 (4)减 (5)摆动 常基础学习交流1.B 由题意得an=10n-1,Sn=a1+a2+an=(10-1)+(102-1)+(10n-1)=(10
6、+102+10n)-n=-n.10(10 1) 92.A 由a2013=3S2012+2014 与a2012=3S2011+2014 相减得,a2013-a2012=3a2012,即q=4,故选 A.3.126 在等比数列an中,S2、S4-S2、S6-S4成等比数列,S2=6,S4-S2=24,S6-S4=96,S6=S4+96=126.242 64.解:由an=23n得=3,又a1=6, + 123 + 123an是等比数列,其公比为q=3,首项a1=6,an的奇数项也成等比数列,公比为q2=9,首项为a1=6,Sn=(9n-1).6(1 9) 1 93 4重点难点探究探究一:【解析】(法
7、一)an为等比数列,S2,S4-S2,S6-S4也为等比数列,(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28 或-21.S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=S2+S2q2=S2(1+q2)0,S4=28.(法二)S2=7,S6=91,q1.1(1 2)1 = 7,1(1 6)1 = 91,?得q4+q2-12=0,q2=3,q=. 3当q=时,a1=,S4=28;37( 3 1) 21(1 4)1 当q=-时,a1=-,S4=28.37( 3 + 1) 21(1 4)1 【小结】等比数列中项数相等的连续项的和若不为零时,则连续项的和仍成等比数列.探究二:【解析】(1
8、)a1=1,a2=,a2-a1= -1=,3 23 21 2又an+2-an+1= an+1- an.1 21 2=,即dn+1= dn. + 2 + 1 + 1 1 21 2故数列dn是以 为首项, 为公比的等比数列.1 21 2(2)由(1)得dn=an+1-an=( )n,1 2an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=( )n-1+( )n-2+( )1+11 21 21 2=2-( )n-1.1 2【小结】通过递推关系求数列通项的关键是构造新数列,比如等差或等比数列.探究三:【解析】(1)设公差为d,则41+ 6 = 14, (1+ 2)2= 1(1+
9、6),?解得a1=2,d=1 或a1=,d=0(舍去),7 2an=n+1,Sn=.( + 3) 2又a1=2,d=1,a3=4,即b2=4.数列bn的首项为b1=2,公比q=2,21bn=2n,Tn=2n+1-2.(2)Kn=221+322+(n+1)2n, 2Kn=222+323+n2n+(n+1)2n+1, -得-Kn=221+22+23+2n-(n+1)2n+1,Kn=n2n+1,则cn=.( + 3)(2 1)2 + 1cn+1-cn=-( + 4)(2 + 1 1)2 + 2( + 3)(2 1)2 + 1=0,2 + 1+ + 22 + 2cn+1cn(nN+).【小结】掌握等差
10、数列、等比数列的有关性质和错位相减法求和,以及利用比差法比较大小等知识.思维拓展应用应用一:an为等比数列,且由已知可得q1,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),S3n=+S2n=+60=63.(2 )2(60 48)2 48应用二:原式可变为=+1,1 + 13 可变形为+ =3(+),1 + 11 21 1 2+为等比数列,首项为+ =,公比为 3,1 1 21 11 23 2+ =3n-1,an=.1 1 23 223 1应用三:(1)点Pn(n,Sn)(nN+)均在函数y=f(x)的图像上,且f(x)=-x2+7x,有Sn=-n2
11、+7n.当n=1 时,a1=S1=6;当n2 时,an=Sn-Sn-1=-2n+8,a1=6 适合上式,an=-2n+8(nN+).Sn=-n2+7n=-(n-)2+,当n=3 或n=4 时,Sn取得最大值 12.7 249 4综上,an=-2n+8(nN+),当n=3 或n=4 时,Sn取得最大值 12.(2)由题意得b1=8,bn=2-n+4,262 2 + 8=, + 11 2数列bn是首项为 8,公比为 的等比数列,1 2故nbn的前n项和Tn=123+222+n2-n+4, Tn=122+22+(n-1)2-n+4+n2-n+3, 1 2-得:Tn=23+22+2-n+4-n2-n+
12、3,1 2Tn=-n24-n=32-(2+n)24-n.161 (12)1 1 2基础智能检测1.B 由题意知anq2=an+3anq,q2-3q-1=0,q=或q=(舍去).3 +13 23 13 22.C an为等比数列,显然S6-S30,S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,即(S6-S3)2=S3(S9-S6),又S6S3=12,=S3(S9- S3),即S3=S9,S9S3=34.1 42 31 23 43. an+1为数列an的中间项,其中奇数项有n+1 项,偶数项有n项,且奇数项之积为T奇5 6=(an+1)n+1,偶数项之积为T偶=(an+1)n,所以an+1= .奇偶5 64.解:设该等比数列有 2n项,则奇数项有n项,偶数项有n项,设公比为q,由等比数列的性质可得=2=q.又S奇+S偶=255,a1=1,2n=8,此数列的公比为 2,项数偶奇170 851(1 2)1 为 8.全新视角拓展B =q3+1=3,q3=2,= .636 13 1969 16 18 1 4 17 3
