《大学物理16-3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学物理16-3（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、University Physics,Quantum 3,玻尔的氢原子假设,定态假设：原子能够、且只能稳定地存在于与分立能量对应的一系列状态中，这些状态称为定态。,3. 角动量量子化假设,电子在定态时，轨道角动量为分立值,2. 跃迁假设：原子能量的任何变化（发射或吸收电磁辐射），仅在两个定态间以跃迁方式进行，电磁辐射频率为, Bohr 频率公式,电子的康普顿波长,16-5 微观粒子的波粒二象性 不确定关系,一、德布罗意假设与物质波 ( Matter Wave ),1924年，法国物理学家德布罗意（de Broglie ）提出假设:,实物粒子具有波动性，实物的波粒二象性(wave-particl
2、e dualism )与光子相类似,德布罗意关系,二、戴维孙（C.J.Davisson）和革末（L.H.Germer）实验,1927年，实验观察到电子衍射，证实电子具有波性。,电子枪,晶体,探测器,电子束,晶体,戴维孙 革末电子散射实验（波长相同）,X射线,电子束,布拉格公式,德布罗意公式,电子透射实验电子穿过晶体薄片后产生的衍射，与X射线通过晶体的衍射极其类似。汤姆逊实验证明了电子在穿过金属片后也象X射线一样产生衍射现象。,电子射线通过多 晶时的衍射图样,戴维逊和汤姆逊因验证 电子的波动性分享1937 年的物理学诺贝尔奖金。,单缝 双缝 三缝 四缝 五缝,1961年，约恩荪（C.Jonson
3、）电子衍射实验，衍射图样为,结论：波粒二象性是所有物质的普遍属性，是“遍及整个,物质世界的一种绝对普遍的现象”。,电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验（约恩逊1961）,还验证了质子、中子和原子等实物粒子都具有波动性，并满足德布洛意关系。,二. 不确定关系 (1927年, 海森堡),1. 动量 坐标不确定关系,微观粒子的位置坐标 x 、 动量 分量 px 不能同时具有确定的值。,一个量确定的越准确，另一个量的不确定程度就越大。,分别是 x、 px 的不确定量，其乘积,说明,(1) 微观粒子的运动原则上没有轨道.,(2) 微观粒子不能静止.,(3) 若粒子的位置空间范围有限，且动量 pp ( 1
4、04 )，则粒子的位置和动量就是确定的，粒子可近似看作经典的质点.,(4) 不确定性关系是波粒二象性及其统计关系的直接结果.,px,电子经过狭缝，其坐标 x 的不确定量为 x ；,大部分 电子落在中央明纹,2. 动量 坐标不确定关系说明,动量分量 px的不确定量为,px,0,电子经过狭缝，其坐标 x 的不确定量为 x ；,电子束,减小缝宽 x, x 确定的越准确,px的不确定度, 即px越大,宏观世界：手枪,微观世界：电子枪,子弹的波动性表现很不明显，子弹通过 双缝后在屏上形成了非相干叠加， 即主 要表现了粒子性。,电子通过狭缝后在屏上出现的位置不可 预测。当时间足够长，屏上接收的电子数越 来
5、越多，形成有规律的单缝衍射图样。 同时打开双缝，电子象子弹那样，只能通 过其中一条缝；但是，电子在接收屏上出现的 结果却显示出了确定分布的干涉图样。,子弹（m = 0.10 g ,v = 200 m/s）穿过 0.2 cm 宽的狭缝.,例,解,求,沿缝宽方向子弹的速度不确定量.,子弹速度的不确定量为,若让,原子的线度约为 10-10 m ，求原子中电子速度的不确定量。,电子速度的不确定量为,氢原子中电子速率约为 106 m/s。速率不确定量与速率本身的数量级基本相同，因此原子中电子的位置和速度不能同时完全确定，也没有确定的轨道。,原子中电子的位置不确定量 10-10 m，由不确定关系,例,解,
6、说明,例,氦氖激光器所发红光波长 = 6328 ，谱线宽度 = 10-8 .,求,当这种光子沿 x 方向传播时，它的 x 坐标不确定度(波列长度) .,解,2. 能量 时间不确定关系,反映了原子能级宽度E 和原子在该能级的平均寿命 t 之间的关系。,基态,辐射光谱线固有宽度,激发态,E,基态,寿命t,光辐射,能级宽度,平均寿命 t 10-8 s,平均寿命 t ,能级宽度 E 0,即 与 同数量级,例,解,试证明粒子运动区域（或障碍物）的线度 L 与德布罗意波长 之比和粒子动量 p 与其动量不确定量 p 之比具有相同的数量级,设,说明,和 具有相同的数量级，实际判别时只要分析其中的一个就可判别粒
7、子是波动粒子还是经典粒子。,如电视显象管中电子的速度 v =105 m/s，显象管尺寸 L = 0.1 m，问此电子能否看作经典质点？,此显象管中的电子可看作经典质点,16.6 波函数 一维定态薛定谔方程,一、概率波（probability wave）,德国物理学家玻恩提出：,“光波是一种概率波”。,用概率描述光子分布,玻恩假设：物质波是一种概率波，粒子在空间分布可通过概率确定和描述，其概率与图样强度相关。,体积元,中，有,个粒子，,则粒子在单位体积内的概率密度:,设波幅为,，则强度分布为,强度正比于波函数的平方、正比于粒子的概率分布。,微观粒子 具有波动性,用波函数描述 微观粒子运动状态,概
8、率密度,二、物质波（概率波）函数（Probability wave function）,物质波为单色平面波,能量、动量 为常量,已知沿X 正方向传播的单色平面波,其波函数为,若一自由粒子沿X 正方向运动,描述它的波函数为,自由粒子的波函数 反映粒子的波粒二象性,用复数表示，自由粒子的波函数：,粒子波性与粒子性的统一表述,自由粒子在沿空间任意方向运动的波函数：,1. 概率波函数统计解释和 物理意义,在 t 时刻，,点处的体积元中找到粒子的概率,2. 标准化条件, 在空间任何有限体积元中，找到粒子概率是有限的,有限值,任意时刻、任意地点，波函数只有单一值 单值性,波函数不能在某处发生突变 连续性,
9、 粒子在空间各点概率总和:, 归一化条件 （normalizing condition), 有限性,例：有一粒子在一维空间运动，其波函数为,求：波函数的归一化因子和粒子概率密度。,使该波函数归一化,解：1 根据波函数的归一化条件，可得,处的粒子概率最大,取波函数概率极值,2 根据玻恩统计解释，可得粒子的概率密度,16-7 薛定谔方程,一、自由粒子的薛定谔方程,对波函数求时间微商和空间梯度:,德布洛意关于电子波动性的假设传到苏黎世后，德拜评论说，一个没有波动方程的波动理论太肤浅了！当时年轻的薛定谔在场。一周后聚会时薛定谔说：“我找到了一个波动方程！”。这就是后来在量子力学中以他的名字命名的基本动
10、力学方程。, 自由粒子的薛定谔方程：,三维情况,推广到势场V（x，t）中的粒子,质量 m 的粒子在外力场中运动，势能函数 V ( r , t ) ，薛定谔方程为,二. 一般形式,三、定态薛定谔方程,当粒子在不随时间变化的稳定场中运动，此时势能函数为 V ( r ) ，粒子能量 E 不随时间变化 粒子处于定态。,则薛定谔方程的一种特解为,定态薛定谔方程,系统的能量本征函数, 量子态为定态,(1) 求解粒子能量和定态波函数,(2) 粒子在一维空间运动，可得一维定态薛定谔方程,注意：波函数的连续、单值、有限性和归一化条件,(3) 薛定谔方程是量子力学的一个基本假设，是量子力学的动,力学方程，其重要性
11、等同于经典力学的牛顿定律。其正确,性依靠实验检验。,当粒子处于定态时，粒子出现概率是稳定的(空间分布稳定）,讨论：,四. 一维无限深势阱中的粒子,0 x x 或 x a 区域,波函数在 x = 0 处连续，有,在 x = a 处连续，有,所以,x,0 a,V ( r ),解为,其中,因此,量子数为 n 的定态波函数为,由归一化条件,波函数,可得,波函数,粒子能量,能量是量子化的,概率分布,零点能,由驻波条件推出能量量子化,概率分布,说明,一维势阱是研究二维或三维势阱的基础。, 粒子在势阱内的波函数为, 粒子的能级公式为,设势阱的长、宽、高为,例 设质量为m 的微观粒子处在宽度为L 的一维无限深势阱中，,求 (1) 粒子在,区域中出现的概率？,(2) 在哪些量子态上，L /4 处的概率密度最大？,解 (1) 已知粒子的定态波函数,概率密度为,区域中出现的概率,在,(2) 在 L /4 处的概率密度：,概率密度最大对应,概率密度最大的量子态,例,解,一粒子沿 x 方向运动，其波函数为,求,(1) 归一化常数 c 。,(2) 发现粒子密度概率最大的 位置 。,(3) 在 x = 0 到 x = 1 之间粒子出现的概率 。,(1) 由归一化条件 有,一维情况下,(2) 概率密度,(3) 在 x = 0 到 x = 1 之间粒子出现的概率 为,
