《高中数学 (2.3.2 两个变量的线性相关 第2课时)教案 新人教a版必修3》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 (2.3.2 两个变量的线性相关 第2课时)教案 新人教a版必修3(11页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、高中数学高中数学 (2.3.22.3.2 两个变量的线性相关两个变量的线性相关 第第 2 2 课时)示范教案课时)示范教案 新人新人教教 A A 版必修版必修 3 3导入新课导入新课 思路思路 1 1客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系,但实际上更多存在的是一种非 因果关系.比如说:某某同学的数学成绩与物理成绩,彼此是互相联系的,但不能认为数学是 “因”,物理是“果”,或者反过来说.事实上数学和物理成绩都是“果”,而真正的“因” 是学生的理科学习能力和努力程度.所以说,函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另 一种非确定性关系相关关系.为表示这种相关关系,我们接着学习两个变量的线
2、性相关 回归直线及其方程. 思路思路 2 2某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某 6 天卖出热茶的 杯数与当天气温的对照表:气温/261813104-1 杯数202434385064如果某天的气温是-5 ,你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗?为解 决这个问题我们接着学习两个变量的线性相关回归直线及其方程. 推进新课推进新课 新知探究新知探究 提出问题提出问题 (1)作散点图的步骤和方法? (2)正、负相关的概念? (3)什么是线性相关? (4)看人体的脂肪百分比和年龄的散点图,当人的年龄增加时,体内脂肪含量到底是以什么 方式增加的呢? (5)什么叫做回归直
3、线? (6)如何求回归直线的方程?什么是最小二乘法?它有什么样的思想? (7)利用计算机如何求回归直线的方程? (8)利用计算器如何求回归直线的方程? 活动:学生回顾,再思考或讨论,教师及时提示指导. 讨论结果:讨论结果:(1)建立相应的平面直角坐标系,将各数据在平面直角坐标中的对应点画出来, 得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图.(a.如果所有的样本点都落 在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系b.如果 所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落 在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系) (2)如果
4、散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点 散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关. (3)如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系. (4)大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加,呈正相关的趋势,我们可 以从散点图上来进一步分析. (5)如下图:从散点图上可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近.如果散点图 中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关关系, 这条直线叫做回归直线(regression line).如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方 程),那么我们就可以
5、比较清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性.就像平均数可以作为一 个变量的数据的代表一样,这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表. (6)从散点图上可以发现,人体的脂肪百分比和年龄的散点图,大致分布在通过散点图中心 的一条直线.那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢?有的同学可能会想,我可以采用测量的方法,先画出一条直线,测量出各点与它的距离, 然后移动直线,到达一个使距离的和最小的位置,测量出此时的斜率和截距,就可得到回归方 程了.但是,这样做可靠吗?有的同学可能还会想,在图中选择这样的两点画直线,使得直线两侧的点的个数基本相 同.同样地,这样做能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗
6、?还有的同学会想,在散点图中多取几组点,确定出几条直线的方程,再分别求出各条直线 的斜率、截距的平均数,将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距.同学们不妨去实践一下,看看这些方法是不是真的可行? (学生讨论:1.选择能反映直线变化的两个点.2.在图中放上一根细绳,使得上面和下面点 的个数相同或基本相同.3.多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、 截距的算术平均值,作为所求直线的斜率、截距.)教师:分别分析各方法的可靠性.如下图:上面这些方法虽然有一定的道理,但总让人感到可靠性不强.实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与此直线的 距离最小”.人
7、们经过长期的实践与研究,已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公 式 .) 1 (,)()(2121121xbyaxnxyxnyxxxyyxx bniiniiiniiniii其中,b 是回归方程的斜率,a 是截距. 推导公式的计算比较复杂,这里不作推导.但是,我们可以解释一下得出它的原理. 假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),且所求回归方程是=bx+a, y其中 a、b 是待定参数.当变量 x 取 xi(i=1,2,n)时可以得到=bxi+a(i=1,2,n), y它与实际收集到的 yi之间的偏差是 yi-=yi-(bxi+a)
8、(i=1,2,n). y这样,用这 n 个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.由于(yi-)可正可负,为了避免相互抵消,可以考虑用来代替,但由于它含有绝对 y niiiyy1 |值,运算不太方便,所以改用 Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+(yn-bxn-a)2 来刻画 n 个点与回归直线在整体上的偏差. 这样,问题就归结为:当 a,b 取什么值时 Q 最小,即总体偏差最小.经过数学上求最小值的 运算,a,b 的值由公式给出. 通过求式的最小值而得出回归直线的方法,即求回归直线,使得样本数据的点到它的距 离的平方和最小,这一方法叫做最小二乘法(method
9、of least square). (7)利用计算机求回归直线的方程.根据最小二乘法的思想和公式,利用计算器或计算机,可以方便地求出回归方程.以 Excel 软件为例,用散点图来建立表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的线性回归 方程,具体步骤如下: 在 Excel 中选定表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的散点图(如下图),在菜单中选 定“图表”中的“添加趋势线”选项,弹出“添加趋势线”对话框. 单击“类型”标签,选定“趋势预测/回归分析类型”中的“线性”选项,单击“确定”按 钮,得到回归直线. 双击回归直线,弹出“趋势线格式”对话框.单击“选项”标签,选定“显示公式”,最后单击“确定”按钮,
10、得到回归直线的回归方程=0.577x-0.448. y(8)利用计算器求回归直线的方程.用计算器求这个回归方程的过程如下:所以回归方程为=0.577x-0.448. y正像本节开头所说的,我们从人体脂肪含量与年龄这两个变量的一组随机样本数据中,找 到了它们之间关系的一个规律,这个规律是由回归直线来反映的. 直线回归方程的应用: 描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关 系. 利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量 x)代入回归方程对预报量(即因变量 Y)进行估计,即可得到个体 Y 值的容许区间. 利用回归方程进行统计控制规定 Y 值的变化,通过控制 x
11、的范围来实现统计控制的目标.如已经得到了空气中 NO2的浓度和汽车流量间的回归方程,即可通过控制汽车流量来控制空 气中 NO2的浓度. 应用示例应用示例 思路思路 1 1 例 1 有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计,得 到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表:摄氏温度/-504712151923273136热饮杯数15615013212813011610489937654 (1)画出散点图; (2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律; (3)求回归方程; (4)如果某天的气温是 2 ,预测这天卖出的热饮杯数. 解:解:(1)散点图如下图所示:(
12、2)从上图看到,各点散布在从左上角到右下角的区域里,因此,气温与热饮销售杯数之 间呈负相关,即气温越高,卖出去的热饮杯数越少. (3)从散点图可以看出,这些点大致分布在一条直线的附近,因此,可用公式求出回归 方程的系数.利用计算器容易求得回归方程=-2.352x+147.767. y(4)当 x=2 时,=143.063.因此,某天的气温为 2 时,这天大约可以卖出 143 杯热饮. y思考气温为 2 时,小卖部一定能够卖出 143 杯左右热饮吗?为什么?这里的答案是小卖部不一定能够卖出 143 杯左右热饮,原因如下: 1.线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的,存在随机误差,这种误
13、差可以 导致预测结果的偏差. 2.即使截距和斜率的估计没有误差,也不可能百分之百地保证对应于 x 的预报值,能够与 实际值 y 很接近.我们不能保证点(x,y)落在回归直线上,甚至不能百分之百地保证它落在回归直线的附近,事实上,y=bx+a+e=+e. y这里 e 是随机变量,预报值与实际值 y 的接近程度由随机变量 e 的标准差所决定. y一些学生可能会提出问题:既然不一定能够卖出 143 杯左右热饮,那么为什么我们还以“这天大约可以卖出 143 杯热饮”作为结论呢?这是因为这个结论出现的可能性最大.具 体地说,假如我们规定可以选择连续的 3 个非负整数作为可能的预测结果,则我们选择 142
14、,143 和 144 能够保证预测成功(即实际卖出的杯数是这 3 个数之一)的概率最大. 例 2 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料.机动车辆数 x千 台95110112120129135150180交通事故数 y千 件6.27.57.78.58.79.810.213(1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系,如果不具有线性相关关系,说 明理由; (2)如果具有线性相关关系,求出线性回归方程. 解:解:(1)在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系 (2)计算相应的数据之和:=1 031,=71.6, 81iix 81i
15、iy=137 835,=9 611.7. 812iix 81iiiyx将它们代入公式计算得 b0.077 4,a=-1.024 1, 所以,所求线性回归方程为=0.077 4x-1.024 1. 思路思路 2 2 例 1 给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据:施化肥量 x15202530354045 水稻产量 y330345365405445450455 (1)画出上表的散点图; (2)求出回归直线的方程. 解:解:(1)散点图如下图(2)表中的数据进行具体计算,列成以下表格:i1234567xi15202530354045yi330345365405445450455xiyi4 9506 9
16、009 12512 15015 57518 00020 47587175,1132725,7000, 3 .399,3071712712 iii ii iiyxyxyx故可得到b=4.75,230770003 .39930787175 a=399.3-4.7530257.从而得回归直线方程是=4.75x+257. y例 2 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间为此进行了 10 次试 验,测得数据如下:零件个数 x(个)102030405060708090100加工时间 y(分)626875818995102108115122请判断 y 与 x 是否具有线性相关关系,如果 y 与 x 具有线性相关关系,求线性回归方 程 解:解:在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.直