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1、【步步高步步高 学案导学设计学案导学设计】2014-2015】2014-2015 学年高中数学学年高中数学 第二章第二章 解析几解析几 何初步章末总结北师大版必修何初步章末总结北师大版必修 2 2 一、数形结合思想 数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，即把代数中的 “数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法数形结合 一般包括两个方面，即以“形”助“数” ，以“数”解“形” 本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题，如距离、倾斜角、斜率、直线与 圆相切等都很容易转化成“形” ，因此这些问题若利用直观的几何图形处理会收到很好的效 果 例 1 设
2、点P(x，y)在圆x2(y1)21 上求的最小值y2 x1例 2 讨论直线yxb与曲线y的交点的个数4x2二、分类讨论思想的应用 分类讨论的思想是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问 题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件(在用二元二次方程 x2y2DxEyF0 表示圆时要分类讨论)；直线方程除了一般式之外，都有一定的局限 性，故在应用直线的截距式方程时，要注意到截距等于零的情形；在用到与斜率有关的直 线方程时，要注意到斜率不存在的情形 例 3 过点P(1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差 的绝对值为 1，求这两条直线
3、方程例 4 求过点A(3,1)和圆(x2)2y21 相切的直线方程三、对称问题 在解析几何中，经常遇到对称问题，对称问题主要有两大类，一类是中心对称，一类 是轴对称 1中心对称(1)两点关于点对称：设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点 P2(2ax1,2by1)，也即P为线段P1P2的中点，特别地，P(x，y)关于原点对称的点为 P(x，y) (2)两直线关于点对称：设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关 于P对称的点都在另外一条直线上，并且l1l2，P到l1、l2的距离相等 2轴对称 (1)两点关于直线对称：设P1，P2关于直线l
4、对称，则直线P1P2与l垂直，且P1P2的 中点在l上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程 (2)两直线关于直线对称：设l1，l2关于直线l对称 当三条直线l1、l2、l共点时，l上任意点到l1、l2的距离相等，并且l1、l2中一 条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上； 当l1l2l时，l1到l的距离等于l2到l的距离 例 5 已知直线l：y3x3，求： (1)点P(4,5)关于l的对称点坐标； (2)直线yx2 关于l的对称直线的方程； (3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程例 6 自点P(6,7)发出的光线l射到x轴上点A处，被x轴反射，其反射光线所在 直线与圆x
5、2y28x6y210 相切于点Q求光线l所在的直线方程第二章第二章 章末总结章末总结 答案答案例 1 解 式子的几何意义是点P(x，y)与定点(1，2)连线的斜率如图，当为切线l1y2 x1时，斜率最小设k，y2 x1 即kxyk20，由直线与圆相切，得1，|1k2|k21解得k 故的最小值是 4 3y2 x14 3 例 2 解 如图所示，在坐标系内作出曲线y的图像(半圆)4x2 直线l1：yx2， 直线l2：yx22 当直线l：yxb夹在l1与l2之间(包括l1、l2)时，l与曲线y有公共点；4x2 进一步观察交点的个数可有如下结论： 当b2时，直线yxb与曲线y无公共点；24x2 当2b2
6、 或b2时，直线yxb与曲线y仅有一个公共点24x2 当 2b2时，直线yxb与曲线y有两个公共点24x2 例 3 解 (1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x1，x0， 它们在x轴上截距之差的绝对值为 1，符合题意； (2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为yk(x1)， y2kx令y0，得x1 与x 2 k由题意得|1 |1，即k12 k 直线的方程为yx1，yx2， 即为xy10，xy20 综上可知，所求的直线方程为x1，x0 或xy10，xy20 例 4 解 当所求直线斜率存在时，设其为k， 则直线方程为y1k(x3)， 即kxy13k0 直线与圆相
7、切，d1，解得k0|2k013k|1k2 当所求直线斜率不存在时，x3 也符合条件 综上所述，所求直线的方程是y1 和x3 例 5 解 (1)设点P关于直线l的对称点为 P(x，y)， 则点P，P的中点M在直线l上，且直线PP垂直于直线l， 即Error!， 解得Error!， P坐标为(2,7) (2)设直线l1：yx2 关于直线l对称的直线为l2，则l1上任一点P1(x1，y1)关于l 的对称点P2(x2，y2)一定在l2上，反之也成立Error!， 解得Error!， 把(x1，y1)代入yx2， 整理得 7x2y2220， l2方程为 7xy220 (3)设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l， 由于ll，可设l为y3xb (b3) 由点到直线的距离公式得，|3 32b|321|3 323|321 即|b7|10，解得b17 或b3(舍去)， 直线l的方程为y3x17， 即对称直线的方程为 3xy170 例 6 解 如图，作圆x2y28x6y210 关于x轴的对称圆x2y28x6y210， 由几何光学原理知，直线l与圆x2y28x6y210 相切， 又l的斜率必存在，故可设直线l： y7k(x6)，即kxy6k70由d2，|4k36k7|k2110|k1|k21得k 或k ，3 44 3 故光线l所在的直线方程为 3x4y100 或 4x3y30
