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1、20142014 年高中数学年高中数学 第一章第一章 统计统计 知识解析相关性素材知识解析相关性素材 北师大版必修北师大版必修3 3相关性相关性- -课文知识点解析课文知识点解析全析提示1.散点图为了了解人的身高与体重的关系，我们随机地抽取 9 名 15岁的男生，测得身高、体重如下表：编 号123456789身高/cm165157155175168157178160163体重/kg524445555447625053从表中不难看出，同一身高 157 cm 对应着不同的体重 44 kg 和 47 kg，体重不是身高的函数.如果把身高看作横坐标、体重看作纵坐标，在坐标系中画出对应的点，就会发现，随
2、着身高的增长，体重基本上是呈直线增加的趋势.体重/kg6560555045400 150 155 160 165 170 175 180 身高/cm 图 171在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常把这种图叫做变量之间的散点图.散点图的制作通常有两种方法：一是手工绘图；二是用计算机作图.手工作图比较烦琐，也易出现误差，不够精确，我们通常利用计算机作图，简单而准确.下面，我们再看一个例子：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员得到了一组数据（如下表）：为了使取得的样本具有广泛代表性，应采用抽样的方
3、法，如简单随机抽样、分层抽样等抽样方法.思维拓展如果身高和体重存在函数关系，则图象应为平滑的直线或曲线，或为均匀分散在直线或曲线上的点.全析提示可利用计算机中的电子表格软件制作两个变量间的散点图.全析提示人体的脂肪百分比和年龄年 龄23273941454950脂 肪9.517.821.225.927.526.328.2年 龄53545657586061脂 肪29.630.231.430.833.535.234.6根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系？一般地，对于某个人来说，他的体内脂肪不一定随年龄增长而增加或减少.但是把很多个体放在一起，这时就可能表现出一定的规律性来.观察表中
4、数据，大体上来看，随着年龄的增长，人体中的脂肪百分比也在增加.为了确定这一细节，我们需要对数据进行分析，可以作一个散点图，使我们对两个变量之间的关系有一个直观上的印象和判断.脂肪含量40 35 30 25 20 15 10 520 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄0图 172从散点图中我们可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系，这个图支持了我们从数据表中得出的结论.2.线性相关我们看下面几个散点图.要从实践中不断提高分析数据的能力，我们往往借助于列表和作图来分析数据.全析提示在作散点图时，假设年龄影响体内脂肪含量，按习惯，
5、以 x 轴表示年龄，以 y 轴表示脂肪含量.x y O a x y O b x y O c图 173从散点图上看，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个大致的趋势（如图 a、图 b） ， 这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样近似的过程称为曲线拟合.若在两个变量 x 和 y 的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关的.此时，我们可以有一条直线来近似表示（如图 a）.若所有点看上去都在某条曲线（不是一条直线）附近波动，则称此相关为非线性相关.此时，可以用一条曲线来拟合（如图b）.如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的（如图 c）.我们重点
6、来研究相关中的线性相关.下面我们再来看体内脂肪的含量与年龄的关系.那么，当人的年龄增长时，体内脂肪含量到底以什么方式增加呢？我们从脂肪含量与年龄的散点图中可以看出，这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，这两个量之间具有线性相关性.脂肪含量40 35 30 25 20 15 10 520 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄0图 174那么，如何确定这条直线呢？这条直线有什么特点呢？要想确定这条直线，必须先弄清该直线的特点.这条直线代表了所有散点的发展变化趋势，也就是说所有散点到该直线的距离最小，全析提示我们通常利用变量间的散点图来判断变量间的关系.如果所有点看上去
7、都在一条直线附近波动，则变量间是线性相关；若在某条曲线附近波动，则称非线性相关；若没有显示任何关系，则称不相关.全析提示这条直线必须能近似地代表散点的变化发展趋势.21 世纪教育网使散点都尽可能地处在该直线的附近.下面我们看几种确定这条直线的方法.（1）我们可以采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就确定了这条直线.脂肪含量40 35 30 25 20 15 10 520 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄0图 175（2）在图中选择这样两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同.脂肪
8、含量40 35 30 25 20 15 10 520 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄0图 176（3）我们还可以在散点图中多取几组点，确定出几条直线的方程，再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为要确定直线的斜率和截距. 脂肪含量40 35 30 25 20 15 10 520 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄0图 177以上几种方法，确定的直线方法差别很大，结果所确定的直线也有较大的差别.但是这种探索活动是非常有意义的，是寻找最佳方案的必要前提.思维拓展此种方法确定直线有不足之处，通过移动直线使距离和最小，只是一种直观的
9、感觉，缺乏严格逻辑.思维拓展此种方法保证直线两侧点数基本相同，但并不能保证所有散点到直线的距离和最小.思维拓展用此种方法来确定直线，由于图中点较多，任意两点确定一条直线，直线条数较多，难操作，并且也很难保证所有点到直线的距离和最小.问题：（课本第 54 页）（1）制散点图时，我们一般要借助于计算机中的电子表格软件（Excel） ，以身高作为横坐标，以右手一拃长作为纵坐标，作图.右手一拃长/cm252015100150 155 160 165 170 175 180 185 190 195身高/cm女生 男生图 178从散点图 188 中可以发现，身高与右手一拃长之间的总体趋势是成一条直线，也就
10、是说它们之间是线性相关的.对第（2）小问题，课本给出四个解决方案，这四个方案从方法上差别较大，得到的数据也有一定的差距，但不能否认这四种方法都有一定的道理，我们想要得到的直线只是对其变化趋势的一个近似的描述，对于一个给定身高的人，我们用这条直线来估计这个人的右手一拃长，是十分有意义的.那么，本节要想确定表示线性相关的直线，我们可以借助于电子表格软件来处理，至于从理论上怎么来处理这一问题，这将是下一节要讨论的内容.全析提示用电子表格制散点图时，在第一列应输入 x 轴所表示的数据（身高） ，在第二列应输入 y 轴所表示的数据（右手一拃长）.全析提示这四种方法都带有一定的主观性，缺乏严格的理论根据和逻辑性.
