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1、2.22.2 等差数列等差数列( (第第 1 1 课时课时) )学习目标 掌握等差数列的概念;理解等差数列的通项公式的推导过程;了解等差数列的函数特征; 能用等差数列的通项公式解决相应的一些问题.让学生亲身经历“从特殊入手,研究对象的 性质,再逐步扩大到一般”这一研究过程,培养他们观察、分析、归纳、推理的能力.通过对 等差数列的研究,培养学生主动探索、勇于发现的求索精神;使学生逐步养成细心观察、认 真分析、及时总结的好习惯. 合作学习 一、设计问题,创设情境 1 1.通常情况下,从地面到 11km 的高空,气温随高度的变化而变化符合一定的规律,请你 根据下表估计一下 7km 高空的温度.距地面
2、的高度(km)1234567温度()3 83 22 62 01 48思考:依据前面的规律,填写 2,3 题:2 2.1,4,7,10,( ),16, 3 3.2,0,-2,-4,-6,( ), 它们共同的规律是什么?从第 2 项起,每一项与前一项的差等于同一个常数,我们把有这 一特点的数列叫做等差数列. 二、信息交流,揭示规律 4 4.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第 2 项起, ,那么这个数列就叫做等差数列.这 个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示. 思考:(1)定义中的关键词有哪些?(2)公差 d 是哪两个数的差?5 5.等差数列定义的数学表达式: 试一试:它们是等差
3、数列吗?(1)1,3,5,7,9,2,4,6,8,10,; (2)5,5,5,5,5,5,; (3)-1,-3,-5,-7,-9,; (4)数列an,an+1-an=3.6 6.等差数列的通项公式 探究 1:等差数列的通项公式(求法一:不完全归纳法) 如果等差数列an的首项是 a1,公差是 d,那么这个等差数列中的 a2,a3,a4如何表示?an 呢?根据等差数列的定义可得:a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,. 所以 a2=a1+d,a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d, a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d, 由此得 an= . 因此等差数列的通项公式就是:a
4、n=a1+(n-1)d,nN N*. 探究 2:等差数列的通项公式(求法二:叠加法) 根据等差数列的定义可得:将以上 n-1 个式子相加所得到的等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d,nN N*. 三、运用规律,解决问题 7 7.(1)求等差数列 8,5,2,的第 20 项. (2)等差数列-5,-9,-13,的第几项是-401?8 8.某市出租车的计价标准为 1.2 元/km,起步价为 10 元,即最初的 4km(不含 4km)计费 10 元.如果某人乘坐该市的出租车去往 14km 处的目的地,且一路通畅,等候时间为 0,则需要 支付多少车费?9 9.在等差数列中,已知 a5=10,a
5、12=31,求首项 a1与公差 d.四、变式训练,深化提高 1010.已知等差数列an中,a3=9,a9=3,求公差 d.1111.在等差数列an中,a1=13,a3=12,若 an=2,求 n.1212.等差数列an中,a1+a5=10,a4=7,求数列an的公差.五、反思小结,观点提炼参考答案 一、设计问题,创设情境1 1.2 2 2.13 3 3.-8 二、信息交流,揭示规律 4 4.每一项与它的前一项的差等于同一个常数 思考(答案略) 5 5.an-an-1=d(d 是与 n 无关的常数,nN N*) 试一试:(2)(3)(4)是,(1)不是.6 6.a1+(n-1)d 三、运用规律,
6、解决问题 7 7.(1)解:因为 a1=8,a2=5,所以 d=a2-a1=-3,n=20. 于是 a20=a1+(n-1)d=8+(20-1)(-3)=-49. (2)解:因为 a1=-5,a2=-9,所以 d=a2-a1=-4,于是-401=-5+(n-1)(-4) 解得 n=100,所以-401 是该数列的第 100 项. 8 8.解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于 4km 时,每增加 1km,乘客需要支付 1.2 元.所以,可以建立一个等差数列an来计算车费. 令 a1=11.2,表示 4km 处的车费,公差 d=1.2.那么,当出租车行至 14km 处时, n=11,此时需要
7、支付车费 a11=11.2+(11-1)1.2=23.2(元). 答:需要支付车费 23.2 元. 9 9.解:由 an=a1+(n-1)d,得解得 四、变式训练,深化提高 1010.解:等差数列an中,由等差数列的通项公式,可得a3=a1+2d,a9=a1+8d. 解得,d=-1. 即等差数列的公差 d=-1. 1111.分析:根据 a1=13,a3=12,利用等差数列的通项公式求得 d 的值,然后根据首项和公差 写出数列的通项公式,让其等于 2 得到关于 n 的方程,求出方程的解即可得到 n 的值. 解:由题意得 a3=a1+2d=12,把 a1=13 代入求得 d=-, 则 an=13+(n-1)=-n+,由 an=2,得-n+=2,解得 n=23. 1212.分析:设数列an的公差为 d,则由题意可得 2a1+4d=10,a1+3d=7,由此解得 d 的值. 解:设数列an的公差为 d,则由 a1+a5=10,a4=7,可得 2a1+4d=10,a1+3d=7,解得 d=2.
