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1、解读点、线、面间的位置关系解读点、线、面间的位置关系 一、知识点精析一、知识点精析 1、平面的概念 （1） “平面”是一个只描述而不定义的最基本的概念，它与点、线一样，都是从实际 生活中抽象出来的数学概念 （2）平面的无限延展性 平面内包含着无数条直线，而直线是可以无限延伸的，因此平面也必然具有无限延展 的性质日常接触到的很多平面的实例都只是平面的一部分，用平行四边形来表示平面， 也只能画出平面的一部分 2平面的基本性质 （1） “有且只有一个”的含义： “有”说明图形是存在的， “只有一个”说明图形是唯一的数学中的“只有一个”并 不保证符合条件的图形一定存在，所以不能用“只有一个”来代替“有
2、且只有一个” ，符合 某一条件的图形既存在，而且只能有一个，就说明这个图形完全是确定的，因此“有且只 有一个”和“确定”是同义词 （2）公理 1 是判定直线在平面内或点在平面内的工具 例如：A、BAB，又如Aa，aA （3）公理 2 给出了确定两个相交平面的交线的方法根据公理 2 要找到两个平面的交 线，只要找出它们的两个公共点，经过这两点的直线就是它们的交线，同时公理 2 还可以 用来证明点在直线上，即如果aI，A且A，则Aa，进而可证明三点 共线 （）公理 3 及其推论是确定平面和判定平面重要的依据 在立体几何中，常常需将空间图形问题转化为平面图形的问题，进而利用平面几何知 识来求解，因此
3、要确定诸元素是否在同一个平面内，而公理 3 及其推论正是起着确定平面 的作用 3两条直线的位置关系 （1）两条直线的三种位置关系： a相交：共面，有且只有一个公共点 b平行：共面，没有公共点 c异面：不同在任何一个平面内，没有公共点 （2）异面直线的判定方法： a定义：不同在任何一个平面内的两条直线，称为异面直线 b判定定理：若l，A，B，Bl，则直线AB和l是异面直线 （3）公理 4（平行公理） 、等角定理及推论 公理 4 是论证平行问题的主要根据，也是确定平面的基础等角定理及其推论是证明 空间两角相等的重要理论依据 （4）异面直线所成的角的概念及其取值范围 a异面直线所成的角的定义中，异面
4、直线a和b所成的角和 a 与 b 所成的锐角（或 直角）相等，但与点O的位置无关，因此在解具体问题时，可将点O取在a或b上，或者 取几何体中具有特殊性的点 b要明确过空间一点O，引直线a的平行线的方法和依据因为Oa，所以点O 和a确定一个平面，在面内过点O作a a ，作b b c两条异面直线互相垂直，它们所成的角为 90，今后再说两条直线互相垂直，它 们可能相交，也可能异面 d异面直线所成的角的范围是090 oo 二、典例解析二、典例解析 例 1 已知四边形ABCD中，ABDC， ABBCDCAD，所在直线分别与平面交于点 EGFH，求证：EFGH，必共线 证明：如图 1，ABCD， ABCD
5、，共面 设ABCD，确定平面， 点EFGH，分别在直线ABCDBCAD，上， EFGH，都在内， 又点EFGH，在平面内， 点EFGH，在和的交线上，即EFGH，共线 说明：要证明多点共线，只需证这些点同在两个相交平面的交线上，这是证点共线的 常用方法之一，其理论依据是公理 2 例 2 已知：正方体 1111 ABCDABC D中，EF，分别是棱 1111 ABBC，的中点，求异面直线EF与 1 AD所成角的大小 解：如图 2，分别连结 11 AC，AC EF，分别是 1111 ABBC，的中点， 11 EFAC 又在正方体中， 11 A AC C ， 11 ACACEFAC 1 D AC的大
6、小即为所求，连结 1 CD， 1 ACD为正三角形， 1 60D AC o， 故EF与 1 AD所成角为 60 说明：求异面直线所成的角的问题，关键是抓住平移，将三维空间两直线所成的角的 问题转化为二维平面两相交直线所成角问题来研究 三、应注意的几个问题三、应注意的几个问题 1注意公理的复习 公理是人们经过长期观察与实践总结出来的，因此我们在学习公理时，要对图形进行 认真的观察并动手进行验证；同时公理是几何推理的基本依据，也是我们进一步学习和研 究空间图形的基础，所以我们不但要熟记公理的内容，还要知道每个公理的用途和如何 用例如，公理 1 是用来判断直线是否在平面内的依据，如果要判断一直线l在
7、平面内， 就要想办法在直线 l 上找出不重合的两点AB，证明AB，两点均在平面内 在这里提醒同学们注意，公理 3 是确定一个平面的依据，我们对公理 3 进一步探究发 现， “两条相交直线可以确定一个平面” 、 “两条平行线可以确定一个平面” 、 “一条直线和直 线外一点可以确定一个平面”这些推论都可以作为确定一个平面的依据，而且应用很广 2注意数学语言和图形语言的复习 数学语言我们并不陌生，在集合中我们学习过很多学好立体几何的数学语言，能使 立体几何语言的表达方法简明扼要、清楚明白、符合逻辑；在这里提醒同学们注意：点 A在立体几何中永远是元素，直线l和平面均是集合，因此，有Al，A， l或Al
8、，A，l；直线l与平面相交记作lAI，它是 lAI的简记并没错误 图形语言的学习就是如何快速准确地作出空间图形的学习空间图形是画在一个平面 内的，因此识图和画图的技巧就十分重要如何根据题目的条件画出图形，需要用实物模 型参考，更需要多观察、多比较、多分析，逐步积累一些画法技巧，同时要注意图形的合 理性、美观性和直观性有些性质的判定和长度的计算及点的位置的确定，往往借助图形 就可以估算一个大概，这有利于最后经过计算或论证得到结果的验证 3注意空间点、线、面之间位置关系的自主探究 学习本节课前，请同学们准备好一个长方体的几何模型现在拿出你的长方体几何模 型，再拿出一支铅笔（权当直线）或一本书（权当
9、平面） ，通过比划你会很快得出直线与直 线、直线与平面、平面与平面的位置关系 4注意与平面几何的比较 对平面图形的研究是讨论立体图形的基础；立体图形的问题常常转化为平面图形的问 题来解决将立体几何与平面几何的“同类问题”进行比较学习有助于我们学好立体几 何例如，在平面几何中，两直线的位置关系只有两种，但在立体几何中两直线的位置关 系却有三种；四边相等的四边形在平面几何中的图形是菱形，但在立体几何中的图形是菱 形或空间四边形 5立体几何中，通常画平行四边形表示平面，但应注意以下几点： （1）所画的平行四边形是表示它所在的整个平面，需要时我们可以把它扩展出去，这 同画直线一样，直线是可以无限延伸的
10、，但在画图时也只能画一段来表示直线 （2）加“通常”两字的意思，是因为有时根据需要也可用其他的平面图形，如菱形、 封闭的曲线图形等来表示平面 （3）画表示水平平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成 45，横边画成邻边的 两倍，也可根据图形的不同需要来画，并不强求一律画相交平画时，一定要画出它们的 交线 6立体几何中，被遮住的部分可画成虚线或不画，为了不产生混淆，立体图形的直观 图中，辅助线和图形中原有的线同样处理，可见部分不画成虚线 7对异面直线的概念要着重明确如下几点： （1）两条直线若异面则必不能同在任何一个平面内，因此它们不相交也不平行 （2）分别在某两个平面内的两条直线，不一定是异面直线，如图 3 （3）画异面直线时，以辅助平面作衬托，更为直观，如图 8注意“降维”思想的应用，将空间的问题转化为平面内的问题，将已知条件与所求 结论集中到同一个平面内，很多关系就容易发现了 9要注意培养空间意识 同学们在复习立体几何时要有一个意识，即立体几何是平面几何的“升级” 在复习中 要有意识地将平面几何中的“点、线、面”问题“升级”为立体几何中的“线、面、体” 问题，养成这种意识，对以后的空间意识的学习习惯的养成是很有帮助的
