《高中数学 1.3.1 三角函数的诱导公式（一）学案 新人教a版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 1.3.1 三角函数的诱导公式（一）学案 新人教a版必修4（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.31.3 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式【学习要求】 1了解三角函数的诱导公式的意义和作用 2理解诱导公式的推导过程 3能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题 【学法指导】 1本节将要学习的诱导公式既是公式一的延续，又是后继学习内容的基础，广泛应用于求 任意角的三角函数值以及有关三角函数的化简、证明等问题 2这组诱导公式的推导思路是：首先确定角 180、角的终边与角的终边之 间的位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，再由正弦函数、余弦函数的定义得出结 论 3在诱导公式的学习中，化归思想贯穿始末为什么确定 180角为第一研究对象， 角为第二研究对象，正是化归思想的运用
2、利用诱导公式把求任意角的三角函数 值转化为求锐角的三角函数值，清晰地体现了化归的思想. 1设为任意角，则 ，的终边与的终边之间 的对称关系.相关角终边之间的对称关系与关于 对称与关于 对称与关于 对称2诱导公式一四 (1)公式一：sin(2k) ，cos(2k) ， tan(2k) ，其中kZ. (2)公式二：sin() ，cos() ， tan() . (3)公式三：sin() ，cos() ， tan() . (4)公式四：sin() ，cos() ， tan() . 探究点一 诱导公式的作用和意义 在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数相等，即公式一，并且利用 公式一可以把绝
3、对值较大的角的三角函数转化为 0360内的角的三角函数值，对 于 90360内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解？请你 完成下面的问题，并注意观察三角函数的符号规律(1)角的终边与单位圆的交点坐标为_，所以 sin _，cos 3 3_，tan _； 3 3(2)角的终边与单位圆的交点坐标为_，所以 sin _，cos 4 34 3_，tan _；4 34 3(3)角的终边与单位圆的交点坐标为_，所以 sin_，cos 3( 3)_，tan _；( 3)( 3)(4)角的终边与单位圆的交点坐标为_，所以 sin _，cos 2 32 3_，tan _.2 32 3 探究点二
4、诱导公式二 (1)公式内容： sinsin ， coscos ， tantan . (2)公式推导： 如图，设角的终边与单位圆交于点P1(x， y)，则角 的终边与单位圆的交点为 P2(x，y)，下面是根据三角函数定义推 导公式的过程，请你补充完整： 由三角函数的定义得 sin ，cos ，tan ， 又 sin() ，cos() ，tan() ， sin() ，cos() ，tan() . (3)公式作用：第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数，例如：sin ，cos ，tan 240 .7 65 4 探究点三 诱导公式三 (1)公式内容： sinsin ， coscos ， tan
5、tan . (2)公式推导： 如图，设角的终边与单位圆的交点为P1(x，y)， 由于角的终边与角的终边关于x轴 对称，因此角与单位圆的交点为 P2 ，则 sin y，cos x，tan ；y x sin()ysin ；cos() ， tan() . (3)公式作用：将负角的三角函数转化为正角的三角函数例如，sin(390) ，cos ，( 3)tan .(5 4) 探究点四 诱导公式四 (1)公式内容：sinsin ， coscos ， tantan . (2)公式推导：请写出诱导公式四的推导过程 方法一：如图，设角的终边与单位圆相交 于P1(x，y)，由于角 与的终边关于y 轴对称，因此角
6、的终边与单位圆相交于 P2(x，y)，则 sin y，cos x，tan ；y x sin() ， cos() ，tan() .y xy x 方法二：由诱导公式二和诱导公式三可得： sin()sin()sin()sin ， cos() . tan() . 即 sin() ，cos() ，tan(). (3)公式作用：将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数 例如，sin 480 ，cos 150 ，tan 135 . 【典型例题】 例 1 求下列三角函数的值(1)sin；(2)cos 960；(3)tan .(19 4)47 6解 (1)sinsin sin(4 )(19 4)19 4
7、3 4sin sinsin .3 4( 4) 422(2)cos 960cos(2402360)cos 240cos(18060)cos 60 .1 2(3)tan tan(6)tan 47 611 611 6tan( )tan tan()tan .5 65 6 6 633小结 利用诱导公式求三角函数值时，先将不是0,2)内的角的三角函数，转化为0,2)内的角的三角函数，或先将负角转化为正角后再用诱导公式转化到范围内的角的三角0， 2函数值 跟踪训练 1 求下列三角函数值(1)sin；(2)cos ；(3)tan(855)(43 6)29 6例 2 化简：.sin23cos tancos3解
8、原式sin2cos tan cos3sin2cos tan cos3tan .sin2cos sin cos cos3sin2cos sin cos2sin cos 小结 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求 出值跟踪训练 2 化简：.tan2sin2cos6 cossin5例 3 已知 cos，求 cossin2的值( 6)33(5 6)( 6)解 cossin2(5 6)( 6)cossin2( 6)( 6)cos( 6) 1cos2(6)cos2cos1( 6)( 6)21.(33)33233小结 对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中
9、的角之间的联系，然 后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值跟踪训练 3 已知 cos() ，2，求 sin(3)cos()的值3 5 1求下列三角函数的值(1)sin 690；(2)cos；(3)tan(1 845)(20 3)2化简：.cos180sin360 sin180cos1803证明：(1)ncos ，nZ.2sinncosn sinnsinn1明确各诱导公式的作用 诱导公式作用 公式一将角转化为 02 之间的角求值 公式二将 02 内的角转化为 0 之间的角求值 公式三将负角转化为正角求值公式四将角转化为 0之间的角求值 2 2诱导公式的记忆 这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限” 其含义是诱导公式两 边的函数名称一致，符号则是将看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符 号看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上可以是任意角.
