《高中数学 1.3.1 三角函数的诱导公式(一)学案 新人教a版必修4》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 1.3.1 三角函数的诱导公式(一)学案 新人教a版必修4(4页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1.31.3 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式【学习要求】 1了解三角函数的诱导公式的意义和作用 2理解诱导公式的推导过程 3能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题 【学法指导】 1本节将要学习的诱导公式既是公式一的延续,又是后继学习内容的基础,广泛应用于求 任意角的三角函数值以及有关三角函数的化简、证明等问题 2这组诱导公式的推导思路是:首先确定角 180、角的终边与角的终边之 间的位置关系,找出它们与单位圆交点的坐标,再由正弦函数、余弦函数的定义得出结 论 3在诱导公式的学习中,化归思想贯穿始末为什么确定 180角为第一研究对象, 角为第二研究对象,正是化归思想的运用
2、利用诱导公式把求任意角的三角函数 值转化为求锐角的三角函数值,清晰地体现了化归的思想. 1设为任意角,则 ,的终边与的终边之间 的对称关系.相关角终边之间的对称关系与关于 对称与关于 对称与关于 对称2诱导公式一四 (1)公式一:sin(2k) ,cos(2k) , tan(2k) ,其中kZ. (2)公式二:sin() ,cos() , tan() . (3)公式三:sin() ,cos() , tan() . (4)公式四:sin() ,cos() , tan() . 探究点一 诱导公式的作用和意义 在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数相等,即公式一,并且利用 公式一可以把绝
3、对值较大的角的三角函数转化为 0360内的角的三角函数值,对 于 90360内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解?请你 完成下面的问题,并注意观察三角函数的符号规律(1)角的终边与单位圆的交点坐标为_,所以 sin _,cos 3 3_,tan _; 3 3(2)角的终边与单位圆的交点坐标为_,所以 sin _,cos 4 34 3_,tan _;4 34 3(3)角的终边与单位圆的交点坐标为_,所以 sin_,cos 3( 3)_,tan _;( 3)( 3)(4)角的终边与单位圆的交点坐标为_,所以 sin _,cos 2 32 3_,tan _.2 32 3 探究点二
4、诱导公式二 (1)公式内容: sinsin , coscos , tantan . (2)公式推导: 如图,设角的终边与单位圆交于点P1(x, y),则角 的终边与单位圆的交点为 P2(x,y),下面是根据三角函数定义推 导公式的过程,请你补充完整: 由三角函数的定义得 sin ,cos ,tan , 又 sin() ,cos() ,tan() , sin() ,cos() ,tan() . (3)公式作用:第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数,例如:sin ,cos ,tan 240 .7 65 4 探究点三 诱导公式三 (1)公式内容: sinsin , coscos , tan
5、tan . (2)公式推导: 如图,设角的终边与单位圆的交点为P1(x,y), 由于角的终边与角的终边关于x轴 对称,因此角与单位圆的交点为 P2 ,则 sin y,cos x,tan ;y x sin()ysin ;cos() , tan() . (3)公式作用:将负角的三角函数转化为正角的三角函数例如,sin(390) ,cos ,( 3)tan .(5 4) 探究点四 诱导公式四 (1)公式内容:sinsin , coscos , tantan . (2)公式推导:请写出诱导公式四的推导过程 方法一:如图,设角的终边与单位圆相交 于P1(x,y),由于角 与的终边关于y 轴对称,因此角
6、的终边与单位圆相交于 P2(x,y),则 sin y,cos x,tan ;y x sin() , cos() ,tan() .y xy x 方法二:由诱导公式二和诱导公式三可得: sin()sin()sin()sin , cos() . tan() . 即 sin() ,cos() ,tan(). (3)公式作用:将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数 例如,sin 480 ,cos 150 ,tan 135 . 【典型例题】 例 1 求下列三角函数的值(1)sin;(2)cos 960;(3)tan .(19 4)47 6解 (1)sinsin sin(4 )(19 4)19 4
7、3 4sin sinsin .3 4( 4) 422(2)cos 960cos(2402360)cos 240cos(18060)cos 60 .1 2(3)tan tan(6)tan 47 611 611 6tan( )tan tan()tan .5 65 6 6 633小结 利用诱导公式求三角函数值时,先将不是0,2)内的角的三角函数,转化为0,2)内的角的三角函数,或先将负角转化为正角后再用诱导公式转化到范围内的角的三角0, 2函数值 跟踪训练 1 求下列三角函数值(1)sin;(2)cos ;(3)tan(855)(43 6)29 6例 2 化简:.sin23cos tancos3解
8、原式sin2cos tan cos3sin2cos tan cos3tan .sin2cos sin cos cos3sin2cos sin cos2sin cos 小结 利用诱导公式进行化简,主要是进行角的转化,最终达到角的统一,能求值的要求 出值跟踪训练 2 化简:.tan2sin2cos6 cossin5例 3 已知 cos,求 cossin2的值( 6)33(5 6)( 6)解 cossin2(5 6)( 6)cossin2( 6)( 6)cos( 6) 1cos2(6)cos2cos1( 6)( 6)21.(33)33233小结 对于给值求值问题,要注意观察题目条件中的角与所求问题中
9、的角之间的联系,然 后选择恰当的诱导公式进行转化,一般采用代入法求值跟踪训练 3 已知 cos() ,2,求 sin(3)cos()的值3 5 1求下列三角函数的值(1)sin 690;(2)cos;(3)tan(1 845)(20 3)2化简:.cos180sin360 sin180cos1803证明:(1)ncos ,nZ.2sinncosn sinnsinn1明确各诱导公式的作用 诱导公式作用 公式一将角转化为 02 之间的角求值 公式二将 02 内的角转化为 0 之间的角求值 公式三将负角转化为正角求值公式四将角转化为 0之间的角求值 2 2诱导公式的记忆 这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变,符号看象限” 其含义是诱导公式两 边的函数名称一致,符号则是将看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符 号看成锐角,只是公式记忆的方便,实际上可以是任意角.