《高中数学 1.1.2 弧度制学案 新人教a版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 1.1.2 弧度制学案 新人教a版必修4（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1.21.1.2 弧度制弧度制【学习要 求】 1理解 角度制与 弧度制的 概念，能 对弧度和 角度进行 正确的转 换 2体会 引入弧度 制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应 关系 3掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 【学法指导】 1通过类比长度、重量的不同度量制，体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出 弧度制 2弄清 1 弧度的角的含义是了解弧度制，并能进行弧度与角度换算的关键 3引入弧度制后，应与角度制进行对比，明确角度制和弧度制下弧长公式和扇形面积公式 的联系与区别. 11 弧度的角：把长度等于 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 表 示，读作 2弧度制：
2、用 作为单位来度量角的单位制叫做弧度制 3角的弧度数的规定： 一般地，正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是 . 如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度 数的绝对值是 .这里，的正负由角的终边的 旋转方向决定 4角度与弧度的互化： (1)角度转化为弧度： 360 rad；180 rad；1 rad0.017 45 rad. (2)弧度转化为角度：2 rad ； rad ；1 rad57.305718.(180 ) 探究点一 弧度制 问题 1 1 弧度的角是怎样规定的？1 弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个 1 弧 度的角吗？ 答 把长度等于半径长的弧所
3、对的圆心角叫做 1 弧度的角.1 弧度的角是一个定值，与所在 圆的半径无关如图所示， AOB就是 1 弧度的角 问题 2 如果一个半径为r的圆的圆心角所对的弧长是l，那么的弧度数与l、r之 间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.AAB的长OB旋转的方向AOB的弧度数AOB的度数0r 2顺时针方向r逆时针方向2r顺时针方向规律：如 果一个半 径为r的 圆的圆心 角所 对的弧长为l，那么_，即_. 问题 3 除了角度制，数学还常用弧度制表示角请叙述一下弧度制的内容 答 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0.如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，
4、角的弧度数的绝对值是| .l r这里，的正负由角的终边的旋转方向决定 问题 4 角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.角度化弧度弧度化角度360 rad2 rad 180 rad rad 1 rad 1801 rad(180 )探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 问题 1 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即 360) 的弧度数为 2”这一事实化简上述公式(设半径为r，圆心角弧度数为)答 半径为r，圆心角为n的扇形弧长公式为l，扇形面积公式为S扇.nr 180nr2 360，l|r.l 2r| 2，S扇 |r2.S扇 S圆S扇 r2|
5、 21 2，S扇 |r2.S扇 S圆S扇 r2| 21 2问题 2 角度制与弧度制下扇形的弧长及面积公式对比： 设扇形的半径为R，弧长为l， (02)为其圆心角，则度量单位 类 别 为角度制 为弧度制扇形的弧长l_l 扇形的面积S_S_r 180逆时针方向r逆时针方向2r顺时针方向探究点三 利用弧度制表示终边相同的角 在弧度制下，与终边相同的角连同在内可以表示为 2k(kZ)，其中 的单位必须是弧度 问题 1 利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合.终边所在的位置角的集合x轴y轴坐标轴问题 2 利用弧度制表示终边落在各个象限的角的集合. 终边所在的象限角 的集合 【典型例题】例 1 (1)把
6、 11230化成弧度；(2)把化成角度7 12解 先将 11230化为 112.5，然后乘以 rad，即可将 11230化成弧度， 180乘以即可化为角度7 12(180 )所以，(1)11230112.5.(225 2)225 2 1805 8(2)105.7 127 12(180 )小结 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记 rad180即可求解把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以即可(180 ) 跟踪训练 1 将下列角按要求转化：(1)300_rad； (2)2230_rad； (3)_度8 5 例 2 已知一扇形的周长为 40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才
7、能使扇形的面积最 大？最大面积是多少？ 解 设扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，面积为S，Slr (402r)r20rr2(r10)2100.1 21 2当半径r10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为 100 cm2，此时 rad2 rad.l r402 10 10所以当扇形的圆心角为 2 rad，半径为 10 cm 时，扇形的面积最大为 100 cm2. 小结 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用 函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为 r的二次函数的最值问题 跟踪训练 2 一个扇形的面积为 1，周长为 4，求圆
8、心角的弧度数 解 设扇形的半径为R，弧长为l，则 2Rl4，l42R，根据扇形面积公式SlR，1 2得 1 (42R)R，1 2R1，l2， 2，l R2 1即扇形的圆心角为 2 rad. 例 3 把下列各角化成 2k (02，kZ)的形式，并指出是第几象限角：(1)1 500； (2)； (3)4.23 6解 (1)1 5001 8003005360300.1 500可化成10，是第四象限角5 3(2)2，23 611 6(3)42(24)，24. 2小结 在同一问题中，单位制度要统一，角度制与弧度制不能混用 跟踪训练 3 将1 485化为 2k (02，kZ)的形式是_ 解析 1 4855
9、360315，1 485可以表示为10.7 4课后小练 1时针经过一小时，时针转过了 ( )A rad B rad C rad D rad 6 6 12 12解析 时针经过一小时，转过30，又30 rad，故选 B. 6 2若3，则角的终边在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解析 3 rad3571817154， 而17154为第三象限角，3 为第三象限角 3已知扇形的周长是 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的中心角的弧度数是( ) A1 B4 C1 或 4 D2 或 4 解析 设扇形半径为r，中心角弧度数为， 则由题意得Error!Error!，Error!Error!或Error!Error!.4把 表示成2k(kZ)的形式，使|最小的值是11 4_解析 22(1). .11 4(3 4)(3 4)3 4课后小结 1角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应的关系：每一 个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯 一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应 2解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180 rad”这一关系式易知：度数 rad弧度数，弧度数度数 180(180 ) 3在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位 取弧度.
