折纸中的余角补角

《折纸中的余角补角》由会员分享，可在线阅读，更多相关《折纸中的余角补角（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、拓展练习拓展练习 1 1： 如图，将一个长方形纸片沿着直线 EF 折叠，点 C 落在点 H 处；再将D 沿着 GE 折叠，使 DE 落在直线 EH 上： 问题 1：FEG 等于多少度？为什么？ 问题 2：FEH 与GEH 互余吗？为什么？ 问题 3：上述折纸的图形中，还有哪些角互为余角？哪些角互为补角？ 3如图，请利用三角板、直尺、铅笔、剪刀等工具将四边形纸板 ABCD 剪成一个长方形纸板。 4课外了解一下，建筑工人在砌墙时是怎样判断砌的墙是否为铅直？ （2001嘉兴）如图，一辆汽车在直线形的公路 AB 上由 A 向 B 行驶，M，N 分别是位于 公路 AB 两侧的村庄 （1）设汽车行驶到公路

2、 AB 上点 P 位置时，距离村庄 M 最近；行驶到点 Q 位置时，距离 村庄 N 最近请在图中的公路 AB 上分别画出点 P，Q 的位置（保留画图痕迹） （2）当汽车从 A 出发向 B 行驶时，在公路 AB 的哪一段路上距离 M，N 两村庄都越来越 近？在哪一段路上距离村庄 N 越来越近，而离村庄 M 却越来越远？（分别用文字表述你 A B C D A A B B G G D D E E F F C C D D H H 的结论，不必证明） （3）到在公路 AB 上是否存在这样一点 H，使汽车行驶到该点时，与村庄 M，N 的距离相 等？如果存在，请在图中的 AB 上画出这一点（保留画图痕迹，不

3、必证明） ；如果不存在， 请简要说明理由 （1）根据垂线段最短，分别作垂线即可； （2）由（1）图可得：在公路 AB 的 AP 上距离 M，N 两村庄都越来越近，在 PQ 路上距 离村庄 N 越来越近，而离村庄 M 却越来越远； （3）作 MN 的中垂线，与公路的交点 H 即是与村庄 M，N 的距离相等的点 解：（1） （3）如图 （2）在公路 AB 的 AP 上距离 M，N 两村庄都越来越近，在 PQ 路上距离村庄 N 越来越近， 而离村庄 M 却越来越远 如图，一辆汽车在直线形的公路 AB 上由 A 向 B 行驶，M，N 分别是位于公路 AB 两侧的村庄 （1）设汽车行驶到公路 AB 上点

4、 P 位置时，距离村庄 M 最近；行驶到点 Q 位置时，距离村庄 N 最 近请在图中的公路 AB 上分别画出点 P，Q 的位置（保留画图痕迹） （2）当汽车从 A 出发向 B 行驶时，在公路 AB 的哪一段路上距离 M，N 两村庄都越来越近？在哪一段路 上距离村庄 N 越来越近，而离村庄 M 却越来越远？（分别用文字表述你的结论，不必证明） （3）到在公路 AB 上是否存在这样一点 H，使汽车行驶到该点时，与村庄 M，N 的距离相等？ 如果存在，请在图中的 AB 上画出这一点（保留画图痕迹，不必证明） ；如 果不存在，请简要说明理由 非欧几里得几何 百科名片百科名片 非欧几里得几何 Non-E

5、uclidean geometry 非欧几里得几何是一门大的数学分支，一般来讲 ， 它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧 几里得几何不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常 意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。 目录 诞生 罗氏几何 黎曼几何 其他人的贡献 公设的不同 三种几何的关系 分析 编编辑辑本本段段诞诞生生 欧几里得的几何原本提出了五条公设，头四条公设分别为： 1.由任意一点到任意一点可作 直线。 2.一条有限直线可以继续延长。 3.以任意点为心及任意的距离可以画 圆。 4.凡直角都相等。 第五条公设说：同一 平面内一条

6、直线和另外两条直线相交，若在某一侧 的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。 长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙 述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在几何 原本一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就 是说，在几何原本中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。因此， 一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前 四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千 多年的关于“平行线理论”的讨论。 由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走 的对不

7、对？第五公设到底能不能证明？ 到了十九世纪二十年代， 俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基 在证明第五 公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的 命题,用它来代替第五公设，然 罗巴切夫斯基 后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认 为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知 道，这其实就是数学中的 反证法。 但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪 夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的 结论： 第一，第五公设不能被证明。 第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在

8、逻辑上无 矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、 严密的几何学。 这种几何学被称为 罗巴切夫斯基几何 ，简称罗氏几何。这是第一个被 提出的非欧几何学。 从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有 普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。 编编辑辑本本段段罗罗氏氏几几何何 罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式 几何平行公理用 “在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直 线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却 引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。 我们知

9、道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。 因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在 罗氏几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，在 罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说 明： 欧式几何： 同一直线的垂线和斜线 相交。 垂直于同一直线的两条直线互相 平行。 存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。 罗氏几何： 同一直线的垂线和斜线不一定相交。 垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。 不存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。 从上面所列举得

10、罗氏几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯 的直观形象有矛盾。所以罗氏几何中的一些几何事实没有像欧式几何那样容 易被接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的 事实作一个直观 “模型”来解释罗氏几何是正确的。 1868 年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文 非欧几何解释 的尝试，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实 现。这就是说，非欧几何命题可以 “翻译”成相应的欧几里得几何命题， 如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。 直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深 入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到

11、学术界的高度评价和一致 赞美，他本人则被人们赞誉为 “几何学中的哥白尼 ”。 编编辑辑本本段段黎黎曼曼几几何何 欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理 都是相同的，只是平行公理不一样。欧式几何讲 “过直线外一点有且只有 一条直线与已知直线平行 ”。罗氏几何 黎曼 讲“ 过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行 ”。那么是否存在这 样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行 ”？黎曼几何就回 答了这个问题。 黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在 1851 年所作的一篇论文 论 几何学作为基础的假设 中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学 的一片新的广阔领域。

12、 黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点 (交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可 以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改 进”的球面。 近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦 的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃 了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性 而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰与黎 曼几何的观念是相似的。 此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的 基础，也应用在 微分方程、变分

13、法和复变函数论 等方面。 编编辑辑本本段段其其他他人人的的贡贡献献 几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时， 匈牙利数学家鲍耶 雅 诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何 学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲数学家鲍 耶法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种 研究。但鲍耶 雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在1832 年， 在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。高斯也发现第 五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时 教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自

14、己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他 们的新理论。 编编辑辑本本段段公公设设的的不不同同 同一直线的垂线和斜线相交。 垂直于同一直线的两条直线互相平行。 存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。 罗氏几何 同一直线的垂线和斜线不一定相交。 垂直于同一直线的两条直 线，当两端延长的时候，离散到无穷。 不存在相似的多边形。 过不在同 一直线上的三点，不一定能做一个圆。 从上面所列举得罗氏几何的一些命 题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。所以罗氏几何中的 一些几何事实没有象欧式几何那样容易被接受。 1868 年，意大利数学家 贝特拉

15、米发表了一篇著名论文 非欧几何解释的尝试 ，证明非欧几何可 以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。 编编辑辑本本段段三三种种几几何何的的关关系系 欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三种几何各 自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备 性和独立性。因此这三种几何都是正确的。 在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中， 欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际； 在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。 编编辑辑本本段段分分析析 根据欧氏几何的 5 条公理，可以看出，这里所说的 “

16、欧氏几何”实际 上是平面几何。除平面几何外，还有立体几何。我们通常所学的立体几何， 基本也就是空间中点、线、平面的关系，没有涉及到曲面。 罗氏几何： 根据罗氏几何的定义：从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线 平行。我们仅需将空间中的平行线，定义为：不相交的两条直线叫罗氏平行 线。就可以得到，过直线外一点，可以做任意多条直线和这条直线罗氏平行。 同一直线的垂线和斜线不一定相交 (可能是罗氏平行线 )。垂直于同一直线 的两条直线，当两端延长的时候，可能离散到无穷 (不在同一平面的两条垂 线，线距趋于无限远 )。过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。这 个命题在一个特殊模型下成立： “过一个曲面上的不在同一条直线上的三个 点，不一定能在曲面上做一个 “公认”的圆”。但可以在这个曲面上做过 这三点的一个平面的投影圆。 黎曼几何： 黎曼几何的这个假设我们没有模型：在同一平面内任何两条直线都有公 共点(交点)。直线可以无限延长，但总的长度是有限的。这个在球面上是可