《矩阵特征问题的求解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵特征问题的求解（76页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 引言,矩阵特征问题的求解,数学、物理学、力学、电磁学及工程技术领域中的许多问题在数学上都可归结为求方阵特征值和特征向量的问题，如振动问题：桥梁的振动、机械振动、电磁振荡、地震引起的建筑物的振动等等；物理学中的临界点、临界值的确定；微分系统中的稳定性研究等。这些常见的问题都与方阵的特征值和特征向量有关。,求方阵的特征值和特征向量是数学、物理学、力学、电磁电工学以及工程技术所面临的一个共同问题。,定义：矩阵 AR nn，若有数和非零向量x R n 使得A x x，则 称 为A的特征值， x称为对应的特征向量。 求法：解特征多项式| E- A |=0.,利用线性代数中的上述方法计算特征值和特征向
2、量是十分困难的; 我们的目的是寻求一种适合计算机运行的近似解法,且简单、可行、有效。,相关理论复习,定义 设矩阵A, BR nn，若有可逆阵P，使,定理1 若矩阵A, BR nn且相似，则,B =P -1 AP,则称A与B相似。,（1）A与B的特征值完全相同；,（2）若x是B的特征向量，则Px便为A的特征向量。,定理2： 设AR nn具有完全的特征向量系，即存在n个线性无关,其中i为A的特征值，P的各列为相应于i的特征向量。,的特征向量构成Rn的一组基底，则经相似变换可化A为对角阵。,即 矩阵A与对角阵相似的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。,即有可逆阵P，使,定理3 ：AR nn，1
3、, , n为A的特征值，则,（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即,（1）A的迹数等于特征值之和，即,定义： 设AR nn为对称矩阵，对任意xR n，x0，则称,为矩阵 A关于向量 x 的瑞雷(Rayleigh)商,瑞雷(L.Rayleigh)英国数学家，18421919,定理4 设AR nn为对称矩阵，其特征值 12n则,1） 对任意 xR n，x0，,2）,3）,定理5 （Gerschgorin圆盘定理） 设AR nn，则,表示以aii为中心，以 半径为的复平面上的n个圆盘。,（2）如果矩阵A的m个圆盘组成的并集S（连通的）与其余,（1）A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中，,n m个
4、圆盘不连接，则S内恰包含m个A的特征值。,1 乘幂法,定理6 设A Rnn有n个线性无关的特征向量，若1, 2, , n为A的n个特征值且满足,对任取初始向量x(0) Rn， (x(0) 0)对乘幂公式,确定的迭代序列xk，有下述结论：,乘幂法与反幂法,乘幂法是一种求矩阵的按模最大的特征值及其特征向量的方法。,（1）当 时，对i = 1, 2, , n,收敛速度取决于 的程度，r 1收敛快， r 1收敛慢，,且x(k)（当k充分大时）为相应于1的特征向量的近似值。,（2）当 时,a）若1 = 2，则主特征值1及相应特征向量的求法同（1）；,收敛速度取决于 程度。向量 ,分别为主特征值1、2相应
5、的特征向量的近似值。,b）若1 = -2，对i = 1, 2, , n,c）若 ，则连续迭代两次，计算出 x(k+1)，x(k+2)，,然后对j = 1, 2, , n 解方程,求出p 、 q 后，由公式,解出主特征值1、2。此时收敛速度取决于 的程度。,乘幂法方法步骤,设x为n 维向量，令 r =max(x)表示向量x分量中绝对值最大者。,1.任意给定初始向量(非零) v (0) 0 ，取r0= max(v (0) ), u (0) = r0-1 v (0);,2.产生迭代序列：,为求A矩阵的按模最大的特征值1和其相应的特征向量1，,v(1)=Au (0) ，取r1= max(v (1) ,
6、v (2) =Au (1) ，取r2= max(v (2) ) ,v (k) =Au (k -1 ) ，取rk= max(v (k) ) ,3.循环次数控制：当|rk-rk-1| 时,结束循环，输出rk 1 ，u (k) 1,定理7 设ARnn有n个线性无关的特征向量1， 2 n ，1, 2, , n为A的n个特征值，且满足,则对任初始向量v (0) =u (0) 0 ，由(规范化的)乘幂法公式确定的向量序列v(k)，u(k)满足,(1),（2）u(k) 1为相应于主特征值1的特征向量.,设 x1, x2,，xn为A的线性无关的特征向量，则 v0= a1x1+a2x2+ an xn,于是,例
7、用乘幂法求矩阵A的按模最大的特征值及其相应的特征向量，其中,解：取初始向量v (0) =u (0) （0，0，1）T,则 v(1)=Au (0) = (2，4，1）T; r1= max(v (1) =4; u (1) = 1/4 (2，4，1）T = (0.5，1，0.25）T;,v(2)=Au (1) = (4.5，9，7.75）T; r2= max(v (2) =9;,结果如下：,r1=4.000000 , u(1)=( 0.500000 , 1.000000 , 0.250000 ) T |r1-r0|= 4.000000 , r2=9.000000 , u(2)=(0.500000 ,
8、 1.000000 , 0.861111) T |r2-r1|= 5.000000 , r3=11.444445 , u(3)=(0.500000 , 1.000000 , 0.730582 ) T |r3-r2|= 2.444445 , r4=10.922330 , u(4)=(0.500000 , 1.000000 , 0.753556) T |r4-r3|= 0.522115 , r5=11.014222 , u(5)=(0.500000 , 1.000000 , 0.749354) T |r5-r4|= 0.091892 , r6=10.997417 , u(6)=(0.500000
9、, 1.000000 , 0.750117) T |r6-r5|= 0.016805 , r7=11.000469 , u(7)=(0.500000 , 1.000000 , 0.749979) T |r7-r6|= 0.003052 , r8=10.999914 , u(8)=(0.500000 , 1.000000 , 0.750004) T |r8-r7|= 0.000555 , r9=11.000015 , u(9)=(0.500000 , 1.000000 , 0.749999) T |r9-r8|= 0.000101 , r10=10.999997 ,u(10)=( 0.50000
10、0 , 1.000000 , 0.750000 ) T |r10-r9|= 0.0000180.0001=,希望 | 2 / 1 | 越小越好。,不妨设 1 2 n ，且 | 2 | | n |。,取 0（常数），用矩阵B = A - 0E 来代替A进行乘幂迭代。,(i = 1, 2, , n),设i (i = 1, 2, , n)为矩阵B 的特征值，则B 与A 特征值之间,应有关系式：,原点位移法,关于矩阵B的乘幂公式为,为加快收敛速度，适当选择参数0，使,达到最小值。,当i (i = 1, 2, , n)为实数，且12 n时，取,则为 (0) 的极小值点。这时,Aitken加速法,通过前面
11、的讨论容易看出由于当k充分大时，存在常数c 0使得,因此,从上式解出1得,该值能比rk更快接近于1,1.任意给定初始向量(非零) v (0) =u (0)0 ，取r0= max(v (0) );,2.产生迭代序列：,v(1)=Au (0) ，取r1= max(v (1) ,v (2) =Au (1) ，取r2= max(v (2) ) ,Aitken加速法得方法步骤,取,v (k) =Au (k -1 ) ，取rk= max(v (k) ) ,于是该法迭代收敛速度大于乘幂法。,Rayleigh商加速,定理 设ARnn对称矩阵，|1 | | 2| |n |,为A的n个特征值，,则对任初始向量v
12、(0) =u (0) 0 ，由规范化的乘幂法公式确定的向量序列v(k)，u(k) : v(k)=Au(k-1) ， u(k) = v(k)/max(v(k),（2）u(k) 1为相应于主特征值1的特征向量.,取,那么 (1) rk 1,若 A 有| 1 | | 2 | | n |，则 A1 有,设ARnn可逆，则无零特征值，由,反幂法,反幂法是一种求矩阵的按模最小的特征值及其特征向量的方法。,Ax= x , (x 0 ) ,则有,A1 的主特征根 A的绝对值最小的特征根,如何计算 x(k+1)=A-1 x(k ),解线性方程组 A x(k+1)=x(k ),对应同样一组特征向量。,?,规范化反
13、幂法公式为,如果考虑到利用原点移位加速的反幂法，则记B = A - 0I，,对任取初始向量(非零) v(0)Rn，,每次需要解方程组求x(k+1),反幂法的方法步骤,(1)将矩阵A作Doolitel三角分解 ALU ；,(2)任意给定非零初始向量v (0) =u (0) 0 ，取r0= max(v (0) );,(4)循环次数控制：当|rk-rk-1| 时,结束循环，输出rk n ，u (k) n,(3)产生迭代序列：,I）解方程组：Ly= u (0) ;U v(1) =y ,取r1= max(v (1) 1 , 并取 u (1) = r1 v(1) ;,II）解方程组：Ly= u (1) ;
14、U v(2) =y ,取r2= max(v (2) 1 , 并取 u (2) = r2 v(2) ;,例：用反幂法求矩阵A的按模最小的特征值及其相应的特征向量，其中,解：,r1=3.600000, | v1=(0.200000, -0.400000, 1.000000 ) |r1-r0|=3.600000 r2=3.000000, | v2=(0.800000, -1.000000, 1.000000 ) |r2-r1|=0.600000 r3=1.304348, | v3=(1.000000, -0.956522, 0.565217 ) |r3-r2|=1.695652 r4=1.16949
15、2, | v4=(1.000000, -0.830508, 0.372881 ) |r4-r3|=0.134856 r5=1.224913, | v5=(1.000000, -0.775086, 0.307958 ) |r5-r4|=0.055422 r6=1.249279, | v6=(1.000000, -0.750720, 0.283862 ) |r6-r5|=0.024366,取v (0) =u (0) =(0，0，1)T,Ly= u (0) , y= (0，0，1)T，U v (1) = y ， v (1) = (0.0555，-0.1111，0.27777)T, r1= max(v
16、 (1) 1 =3.6 , u (1) = r1 v (1) = 3.6(0.0555，-0.1111，0.27777)T = (0.2, -0.4, 1.0 ) T,r7=1.259909, | v7=(1.000000, -0.740091, 0.274433 ) |r7-r6|=0.010630 r8=1.264507, | v8=(1.000000, -0.735493, 0.270629 ) |r8-r7|=0.004598 r9=1.266482, | v9=(1.000000, -0.733518, 0.269066 ) |r9-r8|=0.001975 , r10=1.267326, | v10=(1.000000, -0.732675, 0.268417 ) |r10-r9|=0.000844, r11=1.267685, | v11=(1.000000, -0.732315, 0.268146 ) |r11-r10|=0.000359 , r12=1.267837, | v12=(1.000000, -0.732163, 0.268032 ) |r12-r11|=0.000153 , r13=1.267902, | v13=(1.000000, -0.732098, 0.267984 ) |r13-r12|=0.000065,
