《2016高中数学人教a必修1第三章3.2.2 函数模型的应用实例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016高中数学人教a必修1第三章3.2.2 函数模型的应用实例（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2.23.2.2 函数模型的应用实例函数模型的应用实例1用已知函数模型解决实际问题 解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定 义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答 解决此类型函数应用题的基本步骤是： 第一步：阅读理解，审清题意 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景在此基础 上，分析出已知是什么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题 第二步：根据所给模型，列出函数关系式 根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一 个函数问题 第三步：利用数学方法将得到的常规函数问题(
2、即数学模型)予以解答，求得结果 第四步：再将所得结论转译成具体问题的解答来源: 【例 1】我国辽东半岛普兰店附近的泥炭层中，发掘出的古莲子，至今大部分还能发 芽开花经测定，古莲子出土时14C(半衰期为 5 730 年)的残余量占原始含量的 87.9%，试推算古莲子的生活年代(经过科学鉴定，若14C 的原始含量为 Q0，则经过 t 年后的残余量 Q与 Q0之间满足 QQ0ekt) 解析：解析：利用半衰期求出参数 k，再根据出土的古莲子14C 的残余量求出古莲子的生活年代解：解：已知残余量 Q 与 Q0之间满足 QQ0ekt，其中 Q0是初始量，t 是时间因为半衰期为 5 730 年，即当时，t5
3、 73001 2Q Q所以 e5 730k，解得 k0.000 12所以 QQ0e0.000 12t1 2由题目条件得87.9%，代入上式，解得 t1 0750Q Q故古莲子的生活年代约是 1 075 年前2建立函数模型解决实际问题通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下： 第一步：收集数据 第二步：根据收集到的数在平面直角坐标系内画出散点图 第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型 第四步：选择其中的几组数据求出函数模型 第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际若不符合 实际，则重复第三、四、五步；若符合实际，则进入下一步来源: 第六步：用求得的函
4、数模型去解释实际问题 【例 2】在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据： x2.01.001.002.003.00 y0.240.5112.023.988.02 则 x，y 的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中 a，b 为待定系数)( ) Ayabx BybxCyb2a xDyb x 解析：解析：散点图如图所示：由散点图可知，此函数图象不是直线，排除 A 选项；此函数图象是“上升”的，因此该函数为增函数，排除 C，D 选项，故选择 B答案：答案：B3已知函数模型的应用题 (1)常用到的函数模型： 正比例函数模型：ykx(k0)；反比例函数模型：y(a0)；cxd axb 一次函数
5、模型：ykxb(k0)； 二次函数模型：yax2bxc(a0)； 指数函数模型：ymaxb(a0，且 a1，m0)； 对数函数模型：ymlogaxc(m0，a0，且 a1)； 幂函数模型：ykxnb(k0) (2)二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型随着新课标的实施，指数、对数函 数模型将会起到越来越重要的作用，必将在高考舞台中扮演愈来愈重要的角色_ _ _ 【例 31】在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 v(m/s)和燃料的质量 M(kg)、火箭(除燃料外)的质量 m(kg)的关系式为当燃料质量是火箭质量的2 000ln 1Mvm 多少倍时，火箭的最大速度可达 12 km/s?解：
6、解：由 12 000，即 6，2 000ln 1M mln 1M m1e6，利用计算器算得402M mM m 故当燃料质量约是火箭质量的 402 倍时，火箭的最大速度可达 12 km/s【例 32】现有甲、乙两桶，由甲桶向乙桶输水，开始时，甲桶有 a L 水，t min 后， 剩余水 y L 满足函数关系式 yaent，那么乙桶的水就是 yaaent，假设经过 5 min，甲桶和乙桶的水相等，则再经过_min，甲桶中的水只有 L8a解析：解析：由题意可得 5 min 时，ae5n，解得1 2a1ln 25n 那么剩余水 y L 满足的函数关系式为1ln 25tyae由，解得 t151ln 25
7、1e8taa因此，再经过 10 min 后，甲桶中的水只有L8a答案：答案：10 点技巧点技巧 解决已知函数模型应用题的方法 一般来说，若题中已给出了函数模型，通常利用条件列方程(组)，解得解析式中的参数的值，这样已知的函数模型完全确定，再将实际问题转化为求函数的函数值或最值等常见的函数问题来解4一次函数模型的应用 现实生活中很多事例可以用一次函数模型来表示，例如：匀速直线运动的时间和位移 的关系，弹簧的伸长和拉力的关系等对一次函数来说，当一次项系数为正时，表现为匀 速增长，即为增函数，一次项系数为负时为减函数 一次函数模型层次性不高，求解也较为容易，一般我们可以用“问什么，设什么，列 什么”
8、这一方法来处理 【例 4】某列火车从北京西站开往石家庄，全程 277 km火车出发 10 min 开出 13 km 后，以 120 km/h 匀速行驶试写出火车行驶的总路程 s 与匀速行驶的时间 t 之间的函数关 系式，并求离开北京 2 h 时火车行驶的路程 解析：解析：由“匀速行驶”可知总路程 s 关于时间 t 的函数为一次函数，注意时间 t 的范围限制解：解：因为火车匀速行驶的时间为(h)，所以 0t277 1311 120511 5 因为火车匀速行驶 t h 所行驶的路程为 120t km，所以火车行驶的总路程 s 与匀速行驶的时间 t 之间的函数关系式为 s13120t1105t 故离
9、开北京 2 h 时火车行驶的路程 s13120233(km)11 6 5二次函数模型的应用 (1)在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式 后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决 实际问题中的最大、最省问题 (2)在应用题中能够列出函数的解析式 解答应用题的实质是要转化题意，寻找所给条件含有相等关系的关键词，用等式把变 量联系起来，然后再整理成函数的解析式的形式常用的方法有： 待定系数法：题目给出了含参数的函数关系式，或可确定其函数模型，此种情形下 应用待定系数法求出函数解析式中相关参数(未知系数)的值，就可以得到确定的函
10、数解析 式 归纳法：先让自变量 x 取一些特殊值，计算出相应的函数值，从中发现规律，再推 广到一般情形，从而得到函数解析式 方程法：用 x，y 表示自变量及其他相关的量，根据问题的实际意义，运用掌握的数 学、物理等方面的知识，列出 x，y 的二元方程，把 x 看成常数，解方程得 y(即函数关系式)， 此种方法形式上和列方程解应用题相仿，故称为方程法_ _来源:数理化网 【例 51】有 A，B 两城相距 100 km，在 A，B 两城之间距 A 城 x km 的 D 地建一核 电站给这两城供电为保证城市安全，核电站与城市距离不得少于 10 km已知供电费用 与供电距离的平方和供电量之积成正比，比
11、例系数 0.25若 A 城供电量为 20 亿度/月， B 城供电量为 10 亿度/月 (1)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数，并求定义域； (2)核电站建在距 A 城多远时，才能使供电费用最小？解：解：(1)由题意：y0.2520x210(100x)2x10，且2100500007.533x100x10，10x90函数的定义域为10,90(2)由二次函数知当时，y 最小，100 3x 因此当核电站建在距离 A 城 km 时，供电费用最小100 3 【例 52】某企业实行裁员增效，已知现有员工 a 人，每人每年可创纯收益(已扣工 资等)1 万元，据评估在生产条件不变的情况下，每裁员一人，则
12、留岗员工每人每年可多创 收 0.01 万元，但每年需付给每位下岗工人 0.4 万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员 x 人后年纯收益为 y 万元3 4 (1)写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出 x 的取值范围 (2)当 140a280 时，该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证 能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁员) 解：解：(1)由题意可知，y(ax)(10.01x)0.4x21140 100100100axxaax，x，即 x 的取值范围是区间中的自然数3 4a1 4a0,4a(2)，且 140a280，当 a 为偶2
13、21170701002100 2aayxa 数时，x70，y 取最大值来源:2a当 a 为奇数时，x70，y 取最大值(尽可能少裁人，舍去)1 2a1702ax 当员工人数为偶数时，裁员人，才能获得最大的经济效益；702a当员工人数为奇数时，裁员人，才能获得最大的经济效益1702a 6指数函数模型的应用 (1)实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数 模型来表示，在建立函数模型时注意用区分、列举、归纳等方法来探求内在的规律 (2)当实际应用题中没有给出函数模型而函数模型又唯一时，其解题步骤是：第一步： 认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景；第二步
14、：恰当地设未知数，列出函数解析式，将实际问题转化成函数问题，即实际问题函数化；第三步：运用所学的 数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解；第四步：将所得函数问题的解还 原成实际问题的结论 (3)解决函数应用题关键在于理解题意，这就要求：一要加强对常见函数模型的理解， 弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；二要不断拓宽知识面，提高自己的间接生活 阅历；三要抓住题目中的关键词或关键量，特别是关于变量的相等关系，这是函数解析式 的原型 【例 6】有一种放射性元素，因放出射线，其质量在不断减少，经测算，每年衰减的 百分率相同若该元素最初的质量为 50 g，经过一年后质量变为 40 g (1)设 x(x0)年后，这
