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1、第第 6 6 课时课时 平面直角坐标系中的距离公式平面直角坐标系中的距离公式1.掌握两点间的距离公式,能根据距离公式求两点间的距离. 2.掌握点到直线的距离公式及其简单应用,理解点到直线的距离公式的推导过程. 3.理解两条平行线间的距离公式,会用公式求两条平行线间的距离,综合体会两点间的 距离公式、点到直线的距离公式及两条平行线间的距离公式之间的联系.如图,在铁路的附近,有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来.我们来设计下,使 公路最短,同时算出最短的路程.这就是今天我们要学习的距离公式.问题 1:两点间的距离(1)点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|= . (
2、2 1)2+ (2 1)2(2)坐标法:步骤:建立 坐标系 ,用坐标表示有关的量;进行有关 代数运算 ;把代数运算结果“翻译”成几何关系. 问题 2:点到直线的距离 将仓库看作一个点P0,将铁路看作一条直线,在平面直角坐标系中,如果已知点P0的坐 标为(x0,y0),直线l的方程为Ax+By+C=0(且A2+B20),则点P0(x0,y0)到直线l的距离为 .问题 3:使用点到直线的距离公式时要注意的事项 (1)从运动观点来看,点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最 短 距 离. (2)若给出的直线方程不是一般式,要先化为一般式. (3)直线上的点到该直线的距离为 0 . 问题 4:
3、两条平行直线间的距离 (1)定义:夹在两条平行直线间 公垂线段 的长叫作这两条平行直线间的距离. (2)求法:转化为求点到直线的距离,即在其中任意一条直线上任取一点,这点到另一条 直线的距离就是这两条平行直线间的距离. (3)公式:若l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,则 . 1.已知ABC的顶点A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则ABC的周长是( ).A.2 B.3+2C.6+3D.6+32102.点(2,1)到直线l:x-2y+2=0 的距离为( ).A.B.C.D.02 52 556 553.已知ABC的顶点坐标为A(7,8)、B(10,4)、C(2,-4)
4、,则BC边上的中线AM的长为 . 4.求过点(2,1)的所有直线中,距离原点最远的直线方程.求点到直线的距离 求点P(1,2)到下列直线的距离:(1)l1:y=x-3;(2)l2:y=-1;(3)y轴.两条平行直线间的距离 求两平行线l1:3x+4y=10 和l2:3x+4y=15 的距离.距离公式的应用 直线l1过点A(0,1),直线l2过点B(5,0),如果l1l2,且l1与l2之间的距离为 5,求直 线l1与l2的方程.求点P(a,b)到直线l:+ =1 的距离. 求与直线l:5x-12y+6=0 平行且距离为 2 的直线方程.若两平行直线 2x+y-4=0 与y=-2x-k-2 的距离
5、不大于,求k的取值范围.51.已知A(2,1),B(-1,b),|AB|=5,则b等于( ). A.-3 B.5 C.-3 或 5D.-1 或-3 2.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是( ). A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形 3.已知点A(2,-1),B(,2),若y轴上有一点P满足|PA|=|PB|,则点P的坐标为 . 74.甲船在某港口的东 50 km,北 30 km 处,乙船在同一港口的东 14 km,南 18 km 处,那么甲、乙两船的距离是多少?(2011 年北京卷)已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图像上
6、,则使得ABC 的面积为 2 的点C的个数为( ). A.4 B.3 C.2 D.1考题变式(我来改编):第 6 课时 平面直角坐标系中的距离公式知识体系梳理问题 1:(1) (2)坐标系(2 1)2+ (2 1)2代数运算问题 2:d=|0+ 0+ |2+ 2问题 3:(1)短 (3)0问题 4:(1)公垂线段 (3)d=|1 2|2+ 2基础学习交流1.C |AB|=3,|BC|=3,|AC|=3,(2 + 1)2+ 322(2 + 1)2+ 0(2 2)2+ 32则ABC的周长为 6+3.故选 C.22.B 由点到直线的距离公式知:d=.|2 2 + 2|1 + ( 2)2252 55故
7、选 B. 3. BC的中点为M(6,0),|AM|=.65(6 7)2+ (0 8)2654.解:距离原点最远的直线到原点的距离为=,即直线垂直于(2,1)点与原点的连线,斜22+ 125率为-2,故直线为y-1=-2(x-2),即 2x+y-5=0. 重点难点探究 探究一:【解析】 (1)将直线方程化为一般式:x-y-3=0,由点到直线的距离公式得d1=2.|1 2 3|1 + ( 1)22(2)(法一)直线方程化为一般式:y+1=0,由点到直线的距离公式得d2=3.|0 + 2 + 1|02+ 12(法二)y=-1 平行于x轴,如图,d2=|-1-2|=3. (3)(法一)y轴的方程为x=
8、0,由点到直线的距离公式得d3=1.|1 + 0 + 0|12+ 02(法二)如图可知,d3=|1-0|=1. 【小结】求点到直线的距离,要注意公式的条件,即先将直线方程化为一般式.对于特殊 直线可采用数形结合的思想方法求解. 探究二:【解析】(法一)若在直线l1上取一点A(2,1),则点A到直线l2的距离即是所 求的平行线间的距离. l2的方程可化为:3x+4y-15=0,d=1.|3 2 + 4 1 15|32+ 42(法二)直线l1、l2的方程可化为3x+4y-10=0,3x+4y-15=0, 则两平行线间的距离为d= =1.| 15 ( 10)|32+ 425 5【小结】求两平行直线间
9、的距离有两种思路: (1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线 的距离;(2)直接利用两平行线间的距离公式d=,但注意两直线方程中x,y的系数必须|2 1|2+ 2对应相等. 探究三:【解析】设l1:y=kx+1,l2:y=k(x-5), 即l1:kx-y+1=0,l2:kx-y-5k=0.l1与l2之间的距离d=5,解得k=.|1 ( 5)|2+ ( 1)212 5直线l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0. 问题直线l1、l2的斜率都一定存在吗?如果斜率不存在呢? 结论本题出错的原因是忽视了直线方程的点斜式、斜截式的前提条件,这类问题的
10、解 决方式应分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论. 于是,正确解答如下: (1)若直线l1、l2的斜率都不存在,则l1:x=0,l2:x=5,它们之间的距离为 5,满足题意. (2)若直线l1、l2的斜率存在,则可设l1:y=kx+1,l2:y=k(x-5),即l1:kx-y+1=0,l2:kx-y-5k=0.l1与l2之间的距离d=5,解得k=.|1 ( 5)|2+ ( 1)212 5直线l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0. 综上,直线l1:x=0,l2:x=5 或直线l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0. 【小结】本题考查了直线的点斜式方程和两平行直
11、线的距离公式,在处理直线问题时, 应当考虑斜率是否存在,注意分类讨论、数形结合的思想始终要有. 思维拓展应用 应用一:直线l的方程可化为bx+ay-ab=0,点P到直线l的距离d=.| + |2+ 2|2+ 2应用二:由题意可设所求直线方程为 5x-12y+c=0.根据两平行直线间的距离公式得=2,| 6|52+ ( 12)2解之得c=32 或c=-20. 所以所求直线方程为 5x-12y+32=0 或 5x-12y-20=0. 应用三:y=-2x-k-2 化为 2x+y+k+2=0,0,0|k+6|5.| + 2 + 4|22+ 125-5k+65 且k+60. -11k-1 且k-6. 基
12、础智能检测 1.C |AB|2=(2+1)2+(1-b)2=25,即 1-b=4, b=-3 或 5,故选 C.2.B |AB|=,(5 1)2+ (5 4)217|BC|=3,(4 1)2+ (1 4)22|AC|=.故选 B.(5 4)2+ (5 1)2173.(0,1) 设P点坐标为(0,y),则由两点间的距离公式得|PA|=,( + 1)2+ 42+ 2 + 5|PB|=.( 2)2+ (0 7)22 4 + 11由|PA|=|PB|可得y2+2y+5=y2-4y+11, y=1,即P(0,1). 4.解:以港口为坐标原点,正北、正东方向分别为y轴、x轴的正方向,建立平面直角坐标系, 则甲、乙的坐标分别为(50,30)、(14,-18), 甲、乙两船的距离为=60 km.(50 14)2+ (30 + 18)2362+ 482全新视角拓展A 设C(x,y), 直线AB:x+y-2=0,|AB|=2,点C到直线AB的距离为d=.又因2| + 2| 2为点C在y=x2上,所以d=.则SABC= 2=2,解得x=0 或-1 或| + 2 2| 21 22| + 2 2| 2或.所以满足条件的点有 4 个. 选 A. 1 17 2 1 +17 2
