《2015届高中数学《直线方程的综合应用》导学案 北师大版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高中数学《直线方程的综合应用》导学案 北师大版必修2（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 7 7 课时课时 直线方程的综合应用直线方程的综合应用1.巩固直线方程的概念和两直线的位置关系. 2.会用直线方程的性质及距离公式解决综合性问题.前面几节课,我们学习了直线的五种方程,两直线间的平行问题、垂直问题,相交的交点 坐标,距离公式 ,还接触了对称问题,那么对这些内容有没有完全吸收理解呢?会不会解决它 们的综合性问题呢?于是,我们在这里停一下脚步,回头巩固一下我们所学的重点知识,强化 一下这些知识的综合性的应用.问题 1:两条直线的位置关系 (1)设直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则 l1l2 k1=k2且b1b2 ; l1l2 k1 k2=-1 . (2)若
2、直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1l2 A1B2=A2B1且B1C2B2C1 ; l1l2 A1A2+B1B2=0 . 问题 2:距离公式(1)P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离为|P1P2|= . (2 1)2+ (2 1)2(2)点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0 的距离d= . (3)直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1C2),则d= . 问题 3:对称问题 (1)常见的点关于直线的对称点坐标之间关系总结如下: A(a,b)关于x轴的对称点为A (a,-b) ; B(a,b)关于y轴的对称点为
3、B (-a,b) ; C(a,b)关于直线y=x的对称点为C (b,a) ; D(a,b)关于直线y=-x的对称点为D (-b,-a) ; P(a,b)关于直线x=m的对称点为P (2m-a,b) ; Q(a,b)关于直线y=n的对称点为Q (a,2n-b) . (2)常见的直线关于直线的对称直线有: 设直线l:Ax+By+C=0. l关于x轴对称的直线是 Ax+B(-y)+C=0 ; l关于y轴对称的直线是 A(-x)+By+C=0 ; l关于直线y=x对称的直线是 Bx+Ay+C=0 ; l关于直线y=-x对称的直线是 A(-y)+B(-x)+C=0 . 转化思想是解决对称问题的主要思想方
4、法,其他问题如角的平分线、光线反射等也可转化成对称问题. 问题 4:直线系方程 (1)过定点的直线系:(A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0,过由方程组 的 解确定的定点. (2)平行直线系:直线y=kx+b是与直线y=kx平行的直线系,其中 b0 ;直线 Ax+By+C=0 是与直线Ax+By=0 平行的直线系,其中C0. (3)垂直直线系:直线 Bx-Ay+C=0 是与直线Ax+By=0 垂直的直线系. 1.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0 表示一条直线,则实数m满足( ).A.m0B.m-3 2C.m1D.m1,m-,m03 22.过点(1,3)且
5、与原点的距离为 1 的直线的条数为( ). A.3 B.2 C.1 D.0 3.点A(-2,2)到直线l:(m+1)x+(2-m)y-3m+3=0 距离的最大值是 . 4.在ABC中,高线AD与BE的方程分别是x+5y-3=0 和x+y-1=0,AB边所在直线的方程是 x+3y-1=0,试求点C的坐标.直线间的平行与垂直问题 求过直线l1:x-2y+3=0 与直线l2:2x+3y-8=0 的交点,且分别满足下列条件的直线方程. (1)与直线l:3x+4y-2=0 平行. (2)到点P(0,4)的距离为 2.距离公式的应用 点P(-2,-1)到直线l:(1+3)x+(1+)y-2-5=0 的距离
6、为d,求d的最大值.直线间的对称问题 已知直线l:y=3x+3. 求:(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标; (2)直线y=x-2 关于l的对称直线的方程; (3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程.已知直线(a-1)x-2y+4=0 与x-ay-1=0. (1)若两直线平行,则a= ; (2)若两直线垂直,则a= . 已知正方形的中心为直线x-y+1=0 和 2x+y+2=0 的交点,正方形一边所在的直线方程为 x+3y-2=0,求其他三边所在直线的方程.已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),求: (1)点A关于直线l的对称点A的坐标; (2)直线m:3x-2y-6=0
7、 关于直线l的对称直线m的方程.1.过点(2,1)和(a,2)的直线方程为( ).A.y-1=(x-2) B.x=21 2C.y-1=(x-2)或x=2D.y-1=(x-2)或y=21 21 22.直线x+2y-1=0 关于直线x=2 对称的直线方程是( ). A.x+2y-3=0 B.x-2y-3=0C.2x-y+3=0D.2x-y-3=0 3.直线l1:3x+4y-2=0 关于直线 6x+8y+4=0 对称的直线方程为 . 4.一直线经过点P(3,2),并且和两条直线x-3y+10=0、2x-y-8=0 都相交,且两个交点连线的 中点为P,求这条直线的方程.(2011 年安徽卷)在平面直角
8、坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点,下 列命题中正确的是 (写出所有正确命题的编号). 存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点. 如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点. 直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个不同的整点. 直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是:k与b都是有理数. 存在恰经过一个整点的直线.考题变式(我来改编):第 7 课时 直线方程的综合应用知识体系梳理 问题 1:(1)k1=k2且b1b2 k1 k2=-1 (2)A1B2=A2B1且B1C2B2C1 A1A2+B1B2=0问题 2:(1) (2) (3)(2 1)
9、2+ (2 1)2|0+ 0+ |2+ 2|1 2|2+ 2问题 3:(1)(a,-b) (-a,b) (b,a) (-b,-a)(2m-a,b) (a,2n-b) (2)Ax+B(-y)+C=0 A(-x)+By+C=0 Bx+Ay+C=0 A(- y)+B(-x)+C=0问题 4:(1) (2)b0 Ax+By+C=0 (3)Bx-Ay+C=01 + 1 + 1= 0, 2 + 2 + 2= 0?基础学习交流 1.C 2m2+m-3,m2-m不能同时为 0,所以m1. 2.B 根据直线过点(1,3),当斜率存在时,可设其方程为y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,又与原点的距离为
10、1,则=1,解之得k= .当斜率不存在时,直线为x=1,显然与原点的距离为|3 |1 + 24 31,故满足条件的直线有 2 条.3.5 直线l方程变形为(x-y-3)m+(x+2y+3)=0,则有解得即直线l恒 3 = 0, + 2 + 3 = 0? = 1, = 2,?过点B(1,-2),易求得=5,所以A到直线l距离小于等于 5,当ABl时等号成立.|4.解:联立AD方程和AB方程可求得点A坐标为(-2,1),设点C(a,b), + 5 3 = 0, + 3 1 = 0,?因为ACBE,所以kACkBE=-1,得到a-b+3=0, 同理可求得点B坐标为(1,0),kADkBC=-1,得到
11、 5a-b-5=0,解方程得所以点C 的坐标为(2,5). + 3 = 0,5 5 = 0? = 2, = 5,?重点难点探究 探究一:【解析】设经过直线l1和l2的交点的直线方程为(2x+3y-8)+m(x-2y+3)=0, 即(2+m)x+(3-2m)y+3m-8=0.(1)由题意得,4(2+m)=3(3-2m),解得m=,所求直线的方程为(2x+3y-8)+(x-2y+3)=0,即1 101 103x+4y-11=0.(2)由题意可得,=2,化简得 5m2-8m-36=0,解得m=-2 或m=,代入|(12 8) + 3 8|(2 + )2+ (3 2)218 5式得所求直线方程为y=2
12、 或 4x-3y+2=0. 【小结】常见的直线系方程有:(1)平行的直线系方程,与直线Ax+By+C=0 平行的直线系 方程为Ax+By+M=0(MC),或与y=kx+b平行的直线系方程为y=kx+n(nb);(2)垂直的直线 系方程,与直线Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为Bx-Ay+N=0;(3)经过两条直线交点的直线系 方程,经过直线l1:A1x+B1y+C1=0 与l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为(A1x+B1y+C1) +m(A2x+B2y+C2)=0(其中m为实数),方程不包括直线l2.探究二:【解析】直线l的方程可化为x+y-2+(3x+y-5)=0,由解
13、得直线l过定点A( , ). + 2 = 0, 3 + 5 = 0,? =3 2, =1 2,?3 21 2如图,d|PA|.当PAl时, d取最大值|PA|.|PA|=,( 2 3 2)2+ ( 1 1 2)258 2d的最大值为.58 2【小结】数形结合、运动变化的思想方法是数学中常用的思想方法,当图形中的元素运 动变化时我们能直观看到一些量的变化情况,进而可求出这些量的变化范围.探究三:【解析】(1)设点P关于直线l的对称点为P(x,y),则点P,P的中点M在直线l上,且直线PP垂直于直线l,即解得所以点P的坐标为(- + 5 2= 3 + 42+ 3, 5 4 3 = 1,? = 2,
14、 = 7,?2,7). (2)设直线l1:y=x-2 关于l的对称直线为l2,则l1上的任一点P1(x1,y1)关于l的对称点为P2(x2,y2)一定在l2上,反之也成立,所以1+ 22= 31+ 22+ 3,1 21 2 3 = 1,?解得把(x1,y1)代入y=x-2 中,整理得 7x2+y2+22=0,所以直线y=x-21= 4 52+3 529 5,1=3 52+4 52+3 5,?关于l的对称直线的方程为 7x+y+22=0. (3)设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l,由于ll,可设直线l为y=3x+b,且 y=3x+3 上的点(0,3)关于A(3,2)对称的点一定在直线l上,
15、设该点的坐标为(x0,y0),则即代入y=3x+b,解得b=-17,故l的方程为y=3x-17,即对称直线的方0 + 02= 3,3 + 02= 2,?0= 6, 0= 1,?程为 3x-y-17=0. 【小结】点的对称问题是最基本的对称,是其他对称的基础.同时,关于对称问题还需注 意以下几类特殊情况:(1)点P(x,y)关于x轴的对称点为P(x,-y);(2)点P(x,y)关于y轴 的对称点为P(-x,y);(3)点P(x,y)关于原点的对称点为P(-x,-y);(4)点P(x,y)关于直线 y=x的对称点为P(y,x);(5)点P(x,y)关于直线y=-x的对称点为P(-y,-x). 思维拓展应用应用一:-1 或 2 (法一)当a=0 或 1 时,两直线相交.1 3当a0 且a1 时,直线(a-1)x-2y+4=0
