《2015届高中数学《简单几何体的表面积与体积》导学案 北师大版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015届高中数学《简单几何体的表面积与体积》导学案 北师大版必修2（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 1313 课时课时 简单几何体的表面积与体积简单几何体的表面积与体积1.通过对柱、锥、台、球的研究,了解球的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式),掌 握柱、锥、台、球的表面积与体积的求法,能运用公式进行计算并解决有关的实际问题. 2.让学生经历几何体的侧面展开过程,感知几何体的形状,通过对照比较柱体、锥体、 台体,掌握三者之间的表面积与体积的转化. 3.感受几何体体积和表面积公式的推导过程,提高空间思维能力和空间想象能力,增强 探索问题和解决问题的能力.2013 年 6 月 11 号,神州十号发射成功并在太空与天宫一号对接成功,女航天员王亚平 在天宫仓内上了一堂生动的太空课,其中水球
2、演示实验非常神奇,即水在太空中的形状是球 状的形式.其原理就是在失重的状态下,影响水的形状的主要因素就是水的表面张力,而表面 张力的作用就是压缩水的表面积,而在相同体积下的几何体中,球的表面积最小,这就是为什 么在太空中水的形状是球状的原因.问题 1: 直棱柱、棱锥、棱台表面积展开图是什么,该如何计算? 直棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算,可以先计算其侧面积,然后加上它们的底面积.(1)从侧面展开图可知:直棱柱侧面积S侧= ch ,底面周长为c,侧棱为h. (2)棱锥侧面积S侧= ,底面周长为c,斜高为h. (3)棱台侧面积S侧= ,上、下底面的周长分别为c、c,斜高为h . 问题 2:圆柱、圆
3、锥、圆台的侧面展开图分别是什么?侧面积及表面积公式呢?圆柱:侧面展开图是 矩形 ,长是圆柱底面圆的 周长 ,宽是圆柱的高(母线),S圆柱侧=2rl,S圆柱表=2r(r+l),其中r为圆柱底面半径,l为母线长. 圆锥:侧面展开图为一个 扇形 ,扇形的半径是圆锥的 母线 ,弧长等于圆锥底面周长,侧面展开图的扇形圆心角为= 360,S圆锥侧=rl,S圆锥表=r(r+l),其中r为圆锥 底面半径,l为母线长. 圆台:侧面展开图是 扇环 ,内弧长等于圆台 上底周长 ,外弧长等于圆台 下底周长 ,侧面展开图的扇环圆心角为=360,S圆台侧=(r+r)l,S圆台表 =(r2+rl+rl+r2). 问题 3:
4、写出柱体、锥体、台体、球的体积计算公式. (1)V柱= Sh ,其中S和h分别是柱体的底面积和高. 特别地,V圆柱= r2h ,其中r和h分别是圆柱的底面半径和高. (2)V锥= ,其中S和h分别是锥体的底面积和高. 特别地,V圆锥= ,其中r和h分别是圆锥的底面半径和高. (3)V台=(S+S)h,其中S、S和h分别是台体的上底面面积、下底面面积和高.1 3特别地,V圆台=(r2+rr+r2)h,其中r、r和h分别是圆台的上底面半径、下底面半1 3径和高.(4)V球=R3.4 3问题 4:柱、锥、台的体积计算公式有何关系? 从锥、台、柱的形状可以看出,当台体上底缩为一点时,台成为 锥 ;当台
5、体上底放大 为与下底相同时,台成为 柱 .因此只要分别令 S=S 和 S=0 便可以从台体的体积 公式得到柱、锥的相应公式.从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式. 柱体、锥体、台体的体积公式之间存在的关系.(S、S分别为上、下底面面积,h为柱、锥、台的高)1.圆锥的底面半径为 1,高为,则圆锥的表面积为( ).3A. B.2 C.3 D.4 2.长方体的高为 1,底面积为 2,垂直于底的对角面的面积是,则长方体的侧面积等于( ).5A.2B.4 C.6 D.373.半径为R的半圆卷成一个圆锥,这个圆锥的体积为 . 4.一个底面直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,
6、水面升高 9 厘 米,求此球的表面积.棱柱、棱锥、棱台的体积与表面积 已知棱长为 5,底面为正方形,各侧面均为正三角形的四棱锥,求它的表面积与体积.球的表面积与体积 已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半且AC=BC=6,AB=4, 求球的表面积与球的体积.简单组合体的表面积和体积 如图,在四边形ABCD中,DAB=90,ADC=135,AB=5,CD=2,AD=2.求四边形ABCD2绕AB所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积.如图所示,在长方体ABCD-ABCD中,用截面截下一个三棱锥C-ADD,求三棱锥C- ADD的体积与剩余部分的体积之比.已知矩形ABCD的顶点
7、都在半径为 4 的球O的球面上,且AB=6,BC=2,求棱锥O-ABCD3的体积.牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体,尺寸如图所示,请你帮忙算出要 搭建这样的一个蒙古包至少需要多少 m2的篷布,这个蒙古包占多大的体积?(精确到 0.01 )1.一个球的大圆面积为 9,则球的表面积和体积分别为( ).A.9,27 B.9,36 C.36,36 D.36,48 2.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的表面积是( ).3A.3B.3 C.6D.933.长方体的三个面的面积分别为 2、6 和 9,则长方体的体积为 . 4.如图是一个圆台的侧面展开图,根据图中数据求这个圆台
8、的表面积和体积.(2013 年江苏卷)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三 棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1V2= . 考题变式(我来改编):第 13 课时 简单几何体的表面积与体积知识体系梳理问题 1:(1)ch (2)ch (3) (c+c)h1 21 2问题 2:矩形 周长 扇形 母线 扇环 上底周长 下底周长 问题 3:(1)Sh r2h(2)Sh r2h1 31 3问题 4:锥 柱 S=S S=0 基础学习交流1.C l=2, =r(r+l)=(1+2)=3.2+ 2表2.C 设长方体的长、宽、
9、高分别为a、b、c,则c=1,ab=2,c=,2+ 25a=2,b=1,故S侧=2(ac+bc)=6.3.R3 设圆锥的底面半径为r,则有 R=2r,所以r=,所以圆锥高为R,所以V圆锥3 24 23 2=( )2R=R3.1 3 23 23 244.解:水面上升的体积就等于球的体积,设球的半径为R,圆柱底面半径为r.则V=r2h=R3,R=12.4 333 162 9 4所以球的表面积S=4R2=4144=576(平方厘米). 重点难点探究 探究一:【解析】如图,四棱锥S-ABCD的各棱长均为 5,各侧面都是全等的正三角形. 设E为AB的中点,则SEAB.SE=,2 225 25 45 23
10、S侧=4SSAB=4 ABSE=25=25,1 25 233S表=S侧+S底=25+25.3易知四棱锥的高SO= .2 275 425 45 22V= S底h= 25=.1 31 35 22125 62【小结】解决棱柱、棱锥、棱台的体积与表面积问题的关键是找到高,这需要在常见的 几何体中构造特殊图形:一般地,在棱柱中构造矩形、在棱锥中构造直角三角形、在棱台中 构造直角梯形,将立体问题转化为平面问题解决.探究二:【解析】设球心为O,球半径为R,作OO1平面ABC于O1,如图. 由于OA=OB=OC=R,则O1是ABC的外心,设M是AB的中点,由于AC=BC,则O1CM,连接O1A. 设O1M=x
11、,易知O1MAB, 则O1A=,O1C=CM-O1M=-x.22+ 262 22又O1A=O1C,=-x,22+ 262 22解得x=,则O1A=O1B=O1C=.7 2 49 2 4在 RtOO1A中,O1O=,OO1A=90,OA=R, 2由勾股定理得( )2+()2=R2, 29 2 4解得R=.3 6 2故S球=4R2=54,V球=R3=27.4 36【小结】球的截面问题主要考查球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离构成直 角三角形的计算问题,注意大圆半径与小圆半径之间的转化.探究三:【解析】过点C作CEAB交AB于点E,将四边形ABCD绕AB所在直线为轴旋转一周得到的 几何体是由直
12、角梯形ADCE旋转出的圆台与CBE旋转出的圆锥拼接而成的组合体. 由图计算可得CE=4,AE=2,CD=2,BE=3,BC=5,2S表= AD2+(CE+AD) CD+ CE BC=24+12;2V=(CE2+CE AD+AD2) AE+CE2 BE=.1 31 3104 3【小结】首先根据旋转的图像,确定形成的旋转体由哪些简单几何体组成,再套用公式 求表面积和体积. 思维拓展应用 应用一:已知长方体可以看成直四棱柱ADDA-BCCB,设它的底面ADDA的面积为S, 高为h,则它的体积为V=Sh. 而三棱锥C-ADD的底面面积为S,高是h,1 2因此,三棱锥C-ADD的体积VC-ADD= Sh
13、= Sh.1 31 21 6剩余部分的体积是Sh- Sh= Sh.1 65 6所以三棱锥C-ADD的体积与剩余部分的体积之比为Sh Sh=15.1 65 6应用二:如图,连接AC,BD交于点O1,则O1为矩形ABCD所在小圆的圆心,连接OO1,则OO1面ABCD,易求得O1C=2,又OC=4,OO1=2,32 12棱锥体积V= 622=8.1 333应用三:上部分圆锥体的母线长为,1.22+ 2.52其侧面积为S1= ,5 21.22+ 2.52下部分圆柱体的侧面积为S2=51.8.S=S1+S2= +51.850.03(m2).5 21.22+ 2.52所以,要搭建这样的一个蒙古包至少需要约
14、 50.03m2的篷布.V=( )21.8+ ( )21.2=35.325+7.8543.18(m3).5 21 35 2这个蒙古包占的体积约为 43.18(m3).基础智能检测1.C 由球的大圆面积为 9,得到球的半径R=3,S表=4R2=36,V=R3=36.4 32.A 设底面圆半径为r,则(2r)2=,r=1,母线l=2,S底=r2=,S侧=rl=2,S3 43表=3.故选 A.3.6 设长方体的三边长为a,b,c,则则V=abc=6.3 = 2, = 6, = 9,?34.解:设圆台的上底半径为r,下底半径为R. 由图知母线l=8,2r= 16,2R= 24, 4 4所以r=2,R=3, S侧=8=40,(2 + 3)所以S表=22+32+40=53,h=3,2 ( )264 17所以V=(4+9)3=19.1 34 977全新视角拓展由题意知,三棱锥F-ADE与三棱柱A1B1C-ABC的高之比为 ,底面积之比为 ,故1 241 21 4V1V2=.1 31 21 4 11 24思维导图构建S圆柱侧=2rl S圆锥侧=rl S圆台侧=(r+r)l V圆柱=r2h V圆锥=r2h V圆台1 3=h(r2+rr+r2) S球=4R21 3
