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1、第第 1 1 章立体几何初步章立体几何初步 1 11 1 空间几何体空间几何体 1 11.11.1 棱柱、棱锥和棱台棱柱、棱锥和棱台 诗云：“锥顶柱身立海天，高低大小也浑然。平行垂直皆风景，有角有棱足壮观。 ”在 我们生活的大千世界中，各式建筑物中都蕴含着形状各异的棱柱、棱锥和棱台等多面体， 它们各自具有不同的几何结构特征 1一般地，我们把由一些平面多边形围成的几何体叫做多面体 围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱 与棱的公共点叫做多面体的顶点，多面体至少有四个面 2把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各个面都在这个平面的同一侧， 这样的多面体叫
2、做凸多面体 3由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱，平移起止位置的两 个面叫做底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻两个侧面的公共边叫做棱柱的侧 棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点 4棱柱按照底面边数分类：底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、 四棱柱、五棱柱 5棱柱的结构特征：两个底面互相平行；侧棱都互相平行；棱柱的各侧棱相等， 各侧面都是平行四边形 6一般地，一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围 成的多面体叫做棱锥多边形面叫做棱锥的底面，有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧 面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边
3、叫做棱锥的侧棱 7棱锥按底面边数分类，底面是三角形、四边形、五边形的棱锥分别叫做三棱锥、四 棱锥、五棱锥 8棱锥的结构特征：有一个面(底面)是多边形；其余各面(侧面)是有一个公共顶 点的三角形 9用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台原棱锥 的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，其余各面叫做棱台的侧面，底面与侧面的 公共点叫做棱台的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱 10棱台的侧棱的延长线相交于一点 一、棱柱的结构特征 棱柱的结构特征有：两个底面互相平行；侧棱都互相平行；棱柱的各侧棱相等， 各侧面都是平行四边形 学习时要从相关概念、表示及分类上进行，特别要注意平
4、行六面体、直平行六面体、 长方体、正四棱柱、正方体这五种特殊棱柱的区别与联系谨记：有两个面互相平行，其 余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱；棱柱的任何两个面并不都可以作为棱柱的 底面 二、棱锥的结构特征 棱锥的结构特征有：有一个面(底面)是多边形；其余的各面(侧面)是有一个公共 顶点的三角形 理解、掌握棱锥的结构特征时要从认识侧面、顶点、侧棱、底面、高入手，以棱锥的 记法、棱锥的分类进行归纳整理，类比平面几何的相关性质对知识和方法进行拓宽，如由 多边形相似的定义，容易得到：截面与底面面积的比等于相似比的平方，等于所截得的小 棱锥与大棱锥对应高的比的平方同学们要谨记：正棱锥的底面是正多边形
5、，并且顶点 在过正多边形中心且垂直于底面的直线上；“有一个面是多边形，其余各面都是三角形” 的多面体不一定是棱锥 三、棱台的结构特征 正棱锥被平行于底面的平面所截，截得的棱台是正棱台，主要结构特征有：两个底 面平行且相似；侧棱(母线)延长线相交于一点；各侧面是全等的梯形 理解棱台的结构特征要从棱台的定义及相关概念、棱台与棱锥的转化关系两个方面展 开 基础巩固 知识点一 棱柱的结构特征 1下列命题正确的是_(填序号) 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱； 棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面； 棱柱的侧面是平行四边形，底面不是平行四边形； 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
6、解析：根据棱柱的定义可知正确 答案： 2一个棱柱至少有_个面，它既叫做_面体，又叫_棱柱 解析：根据棱锥的特征判断 答案：五 五 三 3如下图所示的图形中，不可能是正方体的展开图的是(C) 解析：根据正方体的结构特征沿不同的棱剪开展在一个平面内对照 知识点二 棱锥的结构特征 4下列说法正确的是_(填序号) 底面是正方形的棱锥是正四棱锥； 各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥； 底面是正三角形，其余各个面是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥； 正四面体是正三棱锥 解析：根据定义判定 答案： 5若一个三棱锥的侧棱长都相等，则棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的_ 心 解析：侧棱在底面的射影也相等 答案：外 6
7、在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多有_个 解析：从长方体中寻找四棱锥模型 答案：4 知识点三 棱台的结构特征 7下列三个命题，其中正确的有_个 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 解析：由棱台定义知 3 个命题均不正确 答案：0 能力升级 综合点一 空间图形与平面图形的转化 8把下图中正三角形按虚线折起，可以得到一个_ 解析：想象或试着做一下模型均可 答案：三棱锥 综合点二 根据多面体的结构进行计算 9一个长方体过同一顶点的三个面的面积分别为， ， ，这个长方体的对
8、角线的 236 长是_ 解析：设三边分别为a，b，c，则ab，bc，ca，解得： 236 a，b1，c，对角线长为. 23a2b2c21236 答案： 6 10两个完全相同的长方体，长、宽、高分别为 5 cm，4 cm，3 cm，把它们重叠在一 起组成一个新长方体，在这些新长方体中，求最长的对角线的长度 解析：当一个长方体放在另一个长方体的上方时，这时新的长方体的对角线长 d1(cm)； 5242（33）277 当一个长方体放在另一个长方体的右边时，这时新的长方体的对角线长 d25(cm)； （55）242325 当一个长方体放在另一个长方体的前方时，这时新的长方体的对角线长 d37(cm) 52（44）2322 综上可知，新长方体中，最长的对角线的长度为 5 cm. 5 11如下图，已知正四棱锥VABCD的底面面积为 16，一条侧棱长为 2，点E是BC 11 的中点，计算它的高和斜高 解析：正方形ABCD的面积为 16， 边长为 4，OB2. 2 又侧棱长为 2， 11 VO6. （2 11）2（2 2）2 又OE2，斜高VE2. 622210 故它的高为 6，斜高为 2. 10
