数据处理与实验设计第3章ppt培训课件

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1、第3章建立实验数学模型 的一般方法,背景,科学实验的根本任务之一，就是将实验数据整理成反映某些变量间关系的数学模型；广义上讲，实验结果的表格，曲线和经验公式都可以成为数学模型；狭义上讲，数学模型是指过程的数学解析表达式； 求取数学模型的任务,确定函数形式,求公式中的一些系数,第一节 最小二乘原理,一、引入,待测量（难以直接测量）：,直接测量量：,问题：如何根据 和测量方程解得待测量的估计值 ？,直接求得 。,有利于减小随机误差，方程组 有冗余，采用最小二乘原理求。,第一节 最小二乘原理,讨论：,最小二乘原理：,最可信赖值应使残余误差平方和最小。,第一节 最小二乘原理,二、最小二乘原理,设直接测

2、量量 的估计值为 ， 则有,由此得测量数据 的残余误差,残差方程式,等精度测量的最小二乘原理：,最小,不等精度测量的最小二乘原理：,第一节 最小二乘原理,最小,一、最小二乘意义下的最佳函数对一组实验数据 所选择的数学模型 ，在一定区间a, b内，应该是最接近真实的函数 。这就是说在给定区间a, b内，所选的函数 与真函数的全部差值，比选用其他的数学模型具有最少值，则称此函数 为最佳函数。因为偏差 有正负，故求总偏差时会抵消，所以采用绝对值，但是后者不方便计算，于是用平方来表示。,第二节 寻求数学模型形式的几种方法,最小,二、寻求数模的函数形式,第二节 寻求数学模型形式的几种方法,建立数学模型的

3、目的,下一步利用数学手段，确定公式系数,建立数学模型的关键,如何确定变量间可能存在的函数形式,如何建立数学模型,实验理论的推导,专业累积经验,实验曲线的形状,圆管内的流动阻力是管路设计时必须掌握的问题，因此流动阻力问题是一个典型的工程实际问题。本段以此为例，先简单归纳一下处理工程问题的各种研究方法。,从化学工程基础理论课学习中，我们可以知道，在解决阻力问题时，采用了三种不同的方法:,解决层流流动阻力时，根据牛顿粘性定律，采用了数学分析法，导出了著名的泊稷叶方程，解决了流体在直管中呈层流时的摩擦阻力的关系式。,数学分析法,半经验半理论的数学模型法,因次论指导下的实验研究法,对于湍流，情况就复杂得

4、多，尽管力的平衡方程并不因流型的变化而改变，但在湍流时其剪应力不能用简单的牛顿粘性定律表示，解决湍流流动阻力问题可以采用半经验半理论的数学模型法。,普兰德提出的混合长理论就属于对湍流流动描述的一种数学模型，根据对湍流过程的理解，可作出某种假设，认为湍流的起源是流体团的脉动运动，其机理与分子的热运动,相仿，存在有一个平均的自由径 ，由此设想可以导出湍流粘度,这种方法是纯经验的，实验工作所遇到的困难，首先在于实验的工作量，如影响过程的变量数为m，每一变量改变的水平数为n，则按网格法计划实验，所需实验次数为n的m次方，由于变量数出现在幂上，涉及的变量数愈多，所需的实验次数将会剧增。,解决湍流流动阻力

5、的另一种方法就是实验研究方法，依靠实验以测定流动阻力，从而归纳成经验方程式。,实验工作碰到的另一个困难是实验难度大。众所周知，化工生产中涉及的物料千变万化，涉及的设备尺寸大小悬殊，为改变 和 实验中必须用多种流体；为改变d，必须改变实验装置。,从湍流过程的分析可知，影响流体阻力的主要因素有6个，即 ，假如 则需做10 次实验，这种称为天文级的实验工作量是人们无法忍受的。,1. 由实验理论推求数模的函数形式,第二节 寻求数学模型形式的几种方法,因次分析法所依据的基本理论是因次一致性原则和白金汉（Buckingham）的定理。 因次一致性原则是：凡是根据基本的物理规律导出的物理量方程，其中各项的因

6、次必然相同。 白金汉的定理是：用因次分析所得到的独立的因次数群个数，等于变量数与基本因次数之差。,因次分析法的优点： 1.因次分析法不需要对过程机理有深入的理解，只需尽可能地分析并正确地列出影响过程的主要变量，通过无因次化减少变量的数目再通过实验确定具体的函数关系。 2.因次分析法用无因次数群代替单个变量，大大地减少了实验工作量，并且实验中不需要采用真实的物料、真实的流体或实际的设备尺寸，只需借助模拟物料在实验室规模的设备中， 由一些预备性的实验或理性的推断得出过程的影响因素， 从而加以归纳和概括成经验方程。,第二节 寻求数学模型形式的几种方法,第二节 寻求数学模型形式的几种方法,不知道函数关

7、系,因次分析法,找出准数关系式,设计一个实验,确定准数关系式中的常数,因次分析法,得到自变量与因变量的准数,改变其中一个自变量的准数，其余固定,测定自变量准数与因变量准数的依从关系,轮流进行,因次（称量纲）就是物理量单位的种类。例如长度可以用米、厘米、尺等不同单位测量，但这些单位均属同一类，即长度类。所以测量长度的单位具有同一因次，以L表示之。其它物理量，如时间、速度、加速度、密度、力、温度等也各属一种因次。,在力学中常取长度、时间及质量（或力）这三种量为基本量。它们的因次相应地以L、T、M（或F）、温度表示，称为基本因次。其它力学量可由这四个量，通过某种公式导出，称为导出量，它们的因次称为导

8、出因次。导出量的因次既然是由基本因次经公式推导而出，它就必然由基本因次组成，一般地可以把它写为各基本因次的幂指数乘积的形式。,例如：某导出量的因次为 = ，这里指数a、b、c为常数。几种常见量的因次导出如下：,面积A：面积是两个长度的乘积，所以它的因次就是两个长度因次相乘，即长度因次的平方 ，如果写为一般形式： ，其中 。同理可得体积V的因次为 ；,速度u：定义为距离对时间的导数，即 ，它是 当 时的极限。长度增量 的因次仍为 ，而时间增量 的因次为 。所以速度的因次为 ；,加速度a: 定义为 ，具有 的因次， = =,例试用因次分析法求取敞口水箱底部的小孔流出的流量Q与高度的直接关系，已知小

9、孔截面为A，水的密度为 ，试确定它们的函数关系。,解：,第1步 确定影响该现象的物理量,第2步 列出表达式,第3步 写出因次式,第二节 寻求数学模型形式的几种方法,第二节 寻求数学模型形式的几种方法,第4步 根据因次一致性原则列指数方程,密度与流量无关,通过实验可以发现,C是流量函数，可以通过实验得到,采用白金汉法处理对流传热系数h： 1.列出影响该过程的物理量 据理论分析及实验研究，知影响h的因素有：定性尺寸l，流体的密度，粘度，比热Cp，导热系数k，流速u，可将其表示为： hf(l, ，Cp，k，u) 2.确定准数数目定理：任何一个量纲一致的物理方程都可表示成一个隐函数的形式，即： f(1

10、, 2, 3， ，i)=0 其中：i=j-mi无量纲准数的数目j变量数m基本量纲数(长度L、质量M、时间、温度T) i=7-4=3 有三个准数,第二节 寻求数学模型形式的几种方法,3.确定各准数的形式 (1)列出各物理量的量纲(2)选择m(即4)个共同物理量 选择时遵循的原则： 不能包括待求的物理量如不能选h 不能同时选用量纲相同的物理量如不能选d,l 选择的共同物理量中应包括该过程中所有的基本量纲如不能选l,u,，因为不包括量纲T 据此，选择l,k,u为3个无量纲准数的共同物理量,(3)量纲分析 将共同物理量与余下的物理量分别组成无量纲数群，即,2. 参考专业所积累的经验确定数模的函数关系,

11、a. 研究化学反应速率,b. 比较复杂的问题,c. 供热专业,指数函数,多元线性方程,n次多项式,第二节 寻求数学模型形式的几种方法,第三节 根据实验曲线选取数学模型,理论推导,专业经验,数学模型,数据标绘成曲线,可行,不可行,一. 数模选择的直线化法,直线法就是将所选出的函数 ，设法通过变量代换将其转变成线性函数Y=A+BX,检测方法,将已知的（xi，yi）值代入变量变换公式求出新变量（X，Y），然后绘制在直角坐标上，如果这些坐标点接近一条直线，表明数学模型合适,例在研究某化学反应速度时，得到的数据如表所示，其中第一列t为从实验开始算起的时间，第二列y为瞬间t时，在反应混合物中物质的量，试对

12、此关系选择一个合适的数学模型。,第三节 根据实验曲线选取数学模型,一. 将实验数据标绘在图上,二. 根据实验形状，选,第三节 根据实验曲线选取数学模型,三. 验证模型,将公式两边取对数以使其直线化,并非所有的函数形式都能够转换为直线关系,二. 适合线性化的典型函数及图形,第三节 根据实验曲线选取数学模型,幂函数,指数函数,对数函数,双曲线函数,S型函数,第四节 求取数学模型公式系数的方法,用图解法求公式系数当所研究的函数式是线性时，可用下式表达YA+BX （系数A是该直线与Y轴的截距；系数B为该直线的斜率）,系数A可由该直线与Y轴的交点的纵坐标定出（x0，y0为原点）；系数B可由该直线与X轴的

13、正切（tga)来求得。 也可用直线上的两个点如 Y1A+BX1Y2A+BX2 求解方程得到,注意：图解法要注意坐标纸的类型与标度尺的选择,优点：直观，能达到一定的精度,例：在水流量恒定下，冲洗锅炉水处理装置的滤料，得出洗涤水浓度跟时间t的关系，其数据如表所示，试求其数学模型。,第四节 求取数学模型公式系数的方法,解：根据给排水专业经验，从过滤理论来看，此关系多为指数函数， .将实验结果绘在半对数纸上。,步骤：1. 利用直线化得出线性方程YABX2. 每一对（Xi，Yi）就有一个条件方程Yi=A+BXi,即一条近似直线，当in时就有n条直线。3. 将n个方程分成两组，将每一大组的条件方程相加,第

14、四节 求取数学模型公式系数的方法,二. 用平均值法求公式系数由于两点就能确定一条直线，那么将任何两对数据代入拟求系数的直线方程，即可解出直线公式的系数。如果对n对实验数据，就能求出n组不同的公式系数，这样只好取其平均值了。,得到A和B,例：用平均值法求下列数学模型（ ）的系数。,第四节 求取数学模型公式系数的方法,解：1. 根据左表可知由8对（lgyi, ti）实测数据；,2. 各取4对代入公式，各得4个条件方程，然后每组相加。,第四节 求取数学模型公式系数的方法,求解方程组得到,来寻求数学模型的系数，这样得到的曲线才能更好的接近真值。对于求1元m次多项式的系数，即求,三. 用最少二乘法求公式

15、系数最少二乘法就是对于所研究的规律 ，可以找出一个 ，使得,第四节 求取数学模型公式系数的方法,第四节 求取数学模型公式系数的方法,正规 方程,第四节 求取数学模型公式系数的方法,主对角线分布着平方项系数，正数相对于主对角线对称分布的各系数两两相等,例：设溶剂中一个组分的组成x与溶解度之间的关系如下表所示，试求其数学模型。,第四节 求取数学模型公式系数的方法,步骤：,1. 将实验结果绘制成曲线,第四节 求取数学模型公式系数的方法,2. 根据经验，可用多项式表达,3. 对溶解度进行微分，以确定多项式的形式,由于3次微分的结果比较均匀，因此认为模型是三次多项式,4. 根据最少二乘理论求系数,第四节 求取数学模型公式系数的方法,数学模型,第四节 求取数学模型公式系数的方法,最少二乘法的缺点：,计算费时，适用于计算机求解,