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1、差 分 方 程,差分方程是在离散时段上描述现实世界中变化过程的数学模型.,现实中的问题通常是连续变化的，但我们常常只能在离散的时间点上对其进行观测和描述。为了表述这一类的数学模型，我们引入了差分方程的方法。,xk+1=(1+r)xk , k = 0 , 1 , 2 以k=0时x0=M代入，递推n次可得n年后本息为,例1、 某种货币1年期存款的年利率是r ，现存入M元，问n年后的本金与利息之和是多少？,记第k天的污水浓度为ck,则第k+1天的污水浓度为 ck+1=(1-q)ck,k=0,1,2,从k=0开始递推n次得以cn=c0/2代入即求解。,例 2 污水处理厂每天可将处理池的污水浓度降低一个
2、固定比例q，问多长时间才能将污水浓度降低一半？,一阶线性常系数差分方程,濒危物种的自然演变和人工孵化 问题： Florida沙丘鹤属于濒危物种，它在较好自然环境下，年均增长率仅为1.94%，而在中等和较差环境下年均增长率分别为 -3.24% 和-3.82%，如果在某自然保护区内开始有100只鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作数值计算。,模型建立,记第k年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为r，则第k+1年鹤的数量为xk+1=(1+r)xk k=0,1,2 已知x0=100, 在较好、中等和较差的自然环境下 r=0.0194, -0.0324,和-0.0382 我们利用Matlab编程，递推20
3、年后观察沙丘鹤的数量变化情况,Matlab实现,首先建立一个关于变量n ，r的函数 function x=exf11(x0,n,r) % 建立名为exf11的函数M文件， x0,n,r可调节 a=1+r; x=x0; % 赋初值 for k=1:n x(k+1)=a*x(k); 迭代计算 end,在command窗口里调用exf11函数,clear all % x0:初始值； x0=100;n=20; k=(0:n); y1= exf11(x0,n,0.0194); % 给定x0,n,r，b,调用exf11计算 y2= exf11(x0,n,-0.0324); y3= exf11(x0,n,-
4、0.0382);,exam02011,round(k,y1,y2,y3), % 对结果四舍五入取整 plot(k,y1,k,y2,:,k,y3,-), % 将3条线画在一个图上 gtext(r=0.0194), gtext(r=-0.0324), gtext(r=-0.0382), % 在图上做标记,人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如果每年孵化5只鹤放入保护区，观察在中等自然条件下沙丘鹤的数量如何变化 xk+1=axk +5 ,a=1+r 如果我们想考察每年孵化多少只比较合适，可以令 xk+1=axk +b ,a=1+r,exam0201,也可以观察200年的发展趋势，以及在较差条件下的发展
5、趋势，也可以考察每年孵化数量变化的影响。,自然环境下,b=0人工孵化条件下,结果分析,在 中 令xk=xk+1=x得称为差分方程的平衡点 k时，xkx,称平衡点是稳定的，否则平衡点是不稳定的。 显然平衡点稳定的充要条件是|a|0.191,线性常系数差分方程组,当我们研究的对象是若干变量构成的一个向量的离散动态过程时，用差分方程组描述比较方便,汽车租赁公司的运营 一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。根据经验估计和市场调查，一个租赁期内在A市租赁的汽车在A,B,C市归还的比例分别为0.6,0.3,0.1;在B市租赁的汽车归还比例
6、0.2,0.7,0.1;C市租赁的归还比例分别为0.1,0.3,0.6。若公司开业时将600辆汽车平均分配到3个城市，建立运营过程中汽车数量在3个城市间转移的模型，并讨论时间充分长以后的变化趋势。,0.6,0.3,A B CA B CA B C,假设在 每个租 赁期开 始能把 汽车都 租出去， 并都在 租赁期 末归还,0.1,0.7,0.2,0.1,0.6,0.3,0.1,模型及其求解,记第k个租赁期末公司在ABC市的汽车数量分别为x1(k),x2(k),x3(k)（也是第k+1个租赁期开始各个城市租出去的汽车数量），很容易写出第k+1个租赁期末公司在ABC市的汽车数量为(k=0,1,2,3)
7、,用矩阵表示用matlab编程，计算x(k),观察n个租赁期以后3个城市的汽车数量变化情况,clear all A=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6; x(:,1)=200,200,200; % 赋初值 n=10; for k=1:nx(:,k+1)=A*x(:,k); % 迭代计算 end round(x), k=0:10; plot(k,x),grid, gtext(x1(k),gtext(x2(k),gtext(x3(k),exam0204,可以看到时间充分长以后3个城市汽车数量趋于180，300，120 可以考察这个结果与初始条件是否有关 若最开始
8、600辆汽车都在A市，可以看到变化时间充分长以后，各城市汽车数量趋于稳定，与初始值无关 直接输入x(:,1)=600,0,0;的值即可,结果分析,为了证实上面的猜想，记稳定值为x，则x应满足Ax=x 这表明矩阵A的一个特征根是1，且x是对应的特征向量。 事实上，从矩阵各列之和为1，可知它有特征根1.,不同年龄组的繁殖率和死亡率不同,建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律,假设与建模,种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2, , n,时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,以雌性个体数量为对象,第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi,第i 年龄组在1时段内的死亡
9、率为di, 存活率为si=1- di,按年龄分组的种群增长,假设 与 建模,xi(k)时段k第i 年龄组的种群数量,按年龄组的分布向量,预测任意时段种群按年龄组的分布,Leslie矩阵(L矩阵),(设至少1个bi0),离散形式的阻滞增长模型(logistic模型),两个人口模型：,1、指数增长模型：英国人口学家Malthus在假设人口增长率是r保持不变的情况下，得到的模型,这里，时刻t的人口为x(t)，并且x(t)是连续、可微函数,解这个常微分方程得,离散形式为,一阶线性常系数差分方程,此模型用作短期的人口预测可以得到较好的结果，但是，长期来说，人口增长率是在不断变化的，所以需要修改人口增长率是常数这个基本假设。,2、阻滞增长模型：是荷兰生物学家Verhulst提出的，当增长受到制约时，设最大人口数量为,r为固有增长率,离散形式为：,非线性差分方程,其中N为种群最大容量，研究k充分大以后种群的增长趋势。,exam0206,设N=1,r=0.3,1.8,2.5，初值为0.1时的情况,结果分析:,将上述非线性差分方程写为,令,得到,解得,这是非线性差分方程的两个平衡点。,
