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1、初中数学,等腰三角形及直角三 角形有关定理 的证明与运用,一.定理及其证明 二.定理的运用. 三.思考题.,一.定理及其证明 (一)关于等腰三角形,1.定义:有两边相等的三角形叫等腰三角形.,2.判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形.,A,B,C,即:在ABC中,若B=C,则AB=AC. 在同一个三角形中，等角对等边.,D,3.性质: (1).等腰三角形的两底角相等(等边对等角),(2).等腰三角形顶角的平分线,底边上的高,底边的中线,三线合一.,(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形,(二)关于直角三角形. 1.勾股定理:在直角三角形中,斜边的平方等于两直角边的平和.,如图;在RtA
2、BC中,C=90.则,证明(法一):(古希腊数学家毕达哥拉斯证法)以三角形两直角边的和a+b为边作正方形DEFH. 在四条边上分别截取:EQ=FR=HM=DP=a 连结PQ,QR,RM,MP,可证所得四个三角形全等,所以四边形PQRM为正方形. S大正=4S+S小正,证法(二):(中国古代数学家赵爽的证法)以直角三角形的斜边为边作正方形,向里作四个与原直角三角形全等的三角形(略),证法(三):(美国第20任总统伽菲尔德的证法),2.(角的关系)直角三角形两锐角余.,如图:以c为直角边作等腰直角三角形DEF,分别以DF,DE为斜边作两个与原三角形全等的直角三角形NDF和MED, 首先可证N,D,
3、M三点共线. 再利用面积可证勾股定理.,3.(边角关系),直角三角形中,30角所对的直角边是斜边的一半.,A,B,C,在RtABC中,C=90,若 B=30,则AC= AB,D,30,30,证明:(讲解略写),4.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.,证明:(两种证法:讲解略写),E,F,二.运用: 例1.如图,在ABC中,C=90 D,E是AB边上两点,且AE=AC, BD=BC,则DCE等于,(A).30 (B).45 (C).60 (D).与A ,B的度数有关,解:AE=AC ,1,2,同理:,注:通过此题熟练等腰三角形三个角之间的关系.,例2:已知等腰直角三角形ABC中,AB=AC=
4、1 ,将三角形沿斜边上的高AD对折,得三角形ADC,再沿斜边上的高DE对折,.依次进行,则对折四次后的三角形直角边长等于,解:对折后的三角形与原三角形都是等腰直角三角形,它们都是相似三角形,对折后的三角形的面积总是前一次面积的一半,对折四次后三角形的面积是原面积的 相似三角形的面积比等于相似比的平方,第四次后的等腰直角三角形的直角边为,注:相似三角形的面积比等于相似比的平方,例3.如图在ABC中,AB=5,AC=6 BC=7,求ABC的面积.,5,6,7,x,7-x,解:过A作ADBC于D,设BD=x, 则DC=7-x,注:一般三角形边的计算问题通过作高转化为直角三角形问题.,例4.如图已知四
5、边形ABCD中，A=120 ABC=90,AD=3,BC=3 ,BD=7, 求:AB,CD的长,解:过D作BA的垂线交BA的延长线于E, DAB=120 1=60, 2=30,E,1,2,过D作DFBC于F,F,注:将求线段的问题转化为 解直角三角形问题,例5.如图,矩形ABCD中，折叠AD边，使点D落在BC边上 的F点处，若这痕AE= cm,且 ,求矩形ABCD的周长.,3k,4k,5k,5k,8k,6k,10k,解:由已知设EC=3k,FC=4k, 则:EF=5k, AB=DC=8k,AFE=D=90 1+2=90,1,2,3, 1+3=90,2=3, 而B=C=90 ECFFBA,注:折
6、叠得全等,例6.如图,梯形ABCD中，ADBC,AB=DC,DBC=45,翻折梯形使点B与点D重合，折痕交AB于F,交BC于E,若AD=2,BC=8,试求BE,EF的长.,G,解:连结AC,由等腰梯形ABCD 得:AC=BD, 过D作DGAC交BC的延长线于G.,则得:平行四边形ADGC, DG=AC=BD,CG=AD DBG=45 BDG=90.,EF垂直平分BD FEDG,且FE平分BD,BE=EG,(口述求FE),注:梯形问题通过平移对角线或腰将其转化为三角形问题,例7.在ABC中，ABAC, 求证:CB.,A,B,C,D,1,2,证明: ABAC在AB线段上截取AD=AC,连结DC,则
7、1=2,ACB1=2ABC ACB ABC,证法(二):(讲解略写),E,注:角的不等问题一般要用三角形的外角性质.边的不等问题要用三角形任意两边之和大于第三边.,例8.在ABC中，D是BC的中点 EDDF分别交AB,AC于E,F.连结EF. (1)试探究并证明线段EF与BE+FC的长度 关系. (2)若ABC满足AB=AC,BAC=90 其它条件不变, 则EF 与BE,FC又有什么关系?,H,H,(1)猜想: BE+FCEF 证明:延长FD到点H,使DH=DF 连结BH,又BD=DC,BDH=FDC BDHCDF BH=CF,连结EH,因为ED垂直平分HF EH=EF,在BEH中 BE+BHEH BE+FCEF,(2),总 结有中点的条件,一般要倍长过中点的线段.利用三角形全等,或等腰三角形或线段的中垂线等性质转化边,转化角;求线段的长, 可通过作高将问题转化为直角三角形中的求边问题; 证明角的不等关系一般要用三角形的外角性质;证明边的不等关系一般要用三角形两边之和大于第三边.,思考题,1.已知平行四边形ABCD中，AE平分DAB交CD于E, DFBC于F,交AE于G,且DF=AD. 求证:(1)BC=DE;(2) DG+FC=AB,祝大家学习愉快！,
