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高等数学,第6章 常微分方程,例6.9 一链条挂在一钉子上 ,启动时一端离钉子8 m,另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦力,求链条滑下来所需的时间 .,解 建立坐标系如图.,设在时刻 t , 链条较长一段,下垂 x m ,又设链条线密度为常数,此时链条受力,由牛顿第二定律及题设, 得,由初始条件得,故定解问题的解为,令 x = 20 m,解得,(s),微分方程通解:,例6.10 从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测,要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函,数关系.,设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m,体积为B , 海水密度为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正,比 , 比例系数为 k ( k 0 ) ,试建立 y 与 v 所满足的微分,方程, 并求出函数关系式 y = y (v) .,解 建立坐标系如图.,质量 m 体积 B,由牛顿第二定律,有,重力,浮力,阻力,注意到,初始条件为,用分离变量法解上述初值问题得,得,.,b,y,x,0,.,f (x),x,a,dx,
