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1、义务教育教科书（华师）九年级数学下册,第27章 圆,小结与复习,经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径,C,O,A,B,连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦，,与圆有关的概念,弦,知识回顾,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆,C,O,B,弧,圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以A、B为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”,C,O,A,B,劣弧与优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.,大于半圆的弧叫做优弧.,（如图中的AC）,(用三个字母表示,如图中的ACB),想一想,判断下列说法的正误：,(1)弦是直径；,(2)半圆是弧；,(3)过圆心的线段是直径；,(4)过
2、圆心的直线是直径；,(5)半圆是最长的弧；,(6)直径是最长的弦；,(7)等弧就是拉直以后长度相等的弧,随堂练习,弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。,等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，易知同圆或等圆的半径相等。,同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆,等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 等弧应同时满足两个条件：1）两弧的长度相等，2）两弧的度数相等。,1、直径是弦，而弦不一定是直径； 2、半圆是弧，而弧不一定是半圆； 3、两条等弧的度数相等，长度也相等， 反之，度数相等或长度相等的两条弧不一定是等弧。,注意：,一、垂径定理,AM=BM,重视：模型“垂径定理直角三角形”
3、,若 CD是直径, CDAB,1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,2、垂径定理的逆定理,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦； (3) 平分弦 ； (4)平分劣弧； (5)平分优弧.,知二得三,注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗? ( ),错,垂径定理及其推论,例O的半径为10cm，弦ABCD，AB=16，CD=12，则AB、CD间的距离是_ .,2cm,或14cm,圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.,圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.,O,二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系,
4、在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.,如由条件:,AB=AB, OD=OD,AOB=AOB,二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系,综上所述,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系是:,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,即 ABC = AOC.,三、圆周角定理及推论,90的圆周角所对的弦是 .,定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等, 都等于这弧所对的圆心角的一半.,推论:直径所对的圆周角是 .,直角,直径,判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等.(2)相等的圆周角所对的弧相等.(3) 等弧所对的圆周
5、角相等.,(),(),(),随堂练习,1、如图1，AB是O的直径，C为圆上一点，弧AC度数为60，ODBC，D为垂足，且OD=10，则AB=_，BC=_；2、已知、是同圆的两段弧，且弧AB等于2倍弧AC，则弦AB与CD之间的关系为（ ）；A.AB=2CD B.AB2CD D.不能确定图1,3、 如图2，O中弧AB的度数为60，AC是O的直径，那么BOC等于 ( )；A150 B130 C120 D604、在ABC中，A70，若O为ABC的外心，BOC= ；若O为ABC的内心，BOC= 图2,5、两个同心圆的直径分别为5 cm和3 cm，则圆环部分的宽度为_ cm；6、如图1,已知O，AB为直径
6、，ABCD，垂足为E，由图你还能知道哪些正确的结论?请把它们一一写出来 ；7、为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管的直径为100 cm，截面如图2，若管内污水的面宽AB=60 cm，则污水的最大深度为 cm；图1 图2,四、点和圆的位置关系,不在同一直线上的三个点确定一个圆 （这个三角形叫做圆的内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心）,圆内接四边形的性质： （1）对角互补；（2）任意一个外角都等于它的内对角,反证法的三个步骤： 1、提出假设 2、由题设出发，引出矛盾 3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确,经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个,
7、一个三角形的外接圆有几个？ 一个圆的内接三角形有几个？,经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。,三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。,这个三角形叫做这个圆的内接三角形。,三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。,想一想,O,分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.,锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.,1、O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x26x80的两根，则点A与O的位置关系是（ ） A点A在
8、O内部 B点A在O上 C点A在O外部 D点A不在O上2、M是O内一点，已知过点M的O最长的弦为10 cm，最短的弦长为8 cm，则OM=_ cm.,随堂练习,3、圆内接四边形ABCD中，ABCD可以是（ ）A、1234 B、1324 C、4231 D、4213,练习：有两个同心圆，半径分别为和r， 是圆环内一点，则的取值 范围是.,rOPR,1、直线和圆相交,d r;,d r;,2、直线和圆相切,3、直线和圆相离,d r.,五.直线与圆的位置关系,切线的判定定理,定理 经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,C,D,O,A,如图OA是O的半径, 且CDOA, CD是O的切线.,（
9、）定义,（）圆心到直线的距离d圆的半径r,（）切线的判定定理：经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,切线的判定方法,切线的判定定理的两种应用,1、如果已知直线与圆有交点，往往要作出过这一点的半径，再证明直线垂直于这条半径即可；2、如果不明确直线与圆的交点，往往要作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂线段等于半径即可,切线的性质定理,圆的切线垂直于过切点的半径.,CD切O于, OA是O的半径,C,D,O,A,CDOA.,切线的性质定理出可理解为,如果一条直线满足以下三个性质中的任意两个，那么 第三个也成立。经过切点、垂直于切线、经过圆心。,如 , , ,任意两个,做一做：1、两个同
10、心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的弦BC与小圆相切，则BC=_ cm；2、如图2，在以O为圆心的两个同心圆 中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点， 设AB=12，则两圆构成圆环面积为_；3、下列四个命题中正确的是（ ） 与圆有公共点的直线是该圆的切线 ； 垂直于圆的半径的直线是该圆的切线 ； 到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线 ；过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线 A. B. C. D.,一、判断。 1、三角形的外心到三角形各边的距离相等； （ ） 2、直角三角形的外心是斜边的中点 （ ） 二、填空： 1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则 它的外接圆半
11、径 ，内切圆半径 ； 2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之 比 ,6.5cm,2cm,2:1,随堂练习,三、选择题： 下列命题正确的是（ ） A、三角形外心到三边距离相等 B、三角形的内心不一定在三角形的内部 C、等边三角形的内心、外心重合 D、三角形一定有一个外切圆,C,四、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径为2cm,则这个三角形的面积为_,30cm,随堂练习,A,B,C,O,七.三角形的外接圆和内切圆：,A,B,C,I,三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。,三角形外接圆的圆心叫三角形的外心,三角形三边垂直平分线的交点,三角形三内角角平分线的交点,到三角形各边的距离相等,到三角形
12、各顶点的距离相等,锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点, 钝角三角形的外心位于三角形外.,三角形的外心是否一定在三角形的内部？,从圆外一点向圆所引的两条切线长相等;并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.,切线长定理及其推论:,直角三角形的内切圆半径与三边关系.,三角形的内切圆半径与圆面积.,PA,PB切O于A,B PA=PB 1=2,1.如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是,圆周角是.,60度,30或150度,随堂练习,2：已知ABC三点在圆O上，连接ABCO，如果 AOC=140 ，求 B的度数,3.平面上一点P到圆O上一点的距离最长为6
13、cm,最短为2cm,则圆O的半径为_.,D,解：在优弧AC上定一点D，连结AD、 CD. AOC=140 D=70 B=180 70 =110 ,2或4cm,弧长、扇形面积公式,（1）弧长公式：（2）扇形面积公式：,侧面展开图,（1）圆柱侧面展开图=（2）圆锥侧面展开图=,4.怎样要将一个如图所示的破镜重圆？,A,B,C,P,5、 如图，AB是O的任意一条弦，OCAB，垂足为P，若 CP=7cm，AB=28cm ，你能帮老师求出这面镜子的半径吗？,O,7,14,综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径,6.如图：AB是圆O的直径，BD是圆O的弦， BD到C，AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？
14、 为什么？,补充：若B=70 ,则DOE=,E,40 ,要会用到解题中,定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。,几何表达式： ABCD是O的内接四边形， A+C=180且B=1,练习:,如图，四边形ABCD为O 的内接四边形，已知BOD100，求BAD及BCD的度数。,例 如图，ABC中,AB=AC, O是BC的中点,以O为圆心的O切AB于D,问: O与AC相切吗?说明理由.,解： O与AC相切, AB=AC ， O是BC的中点，,AO平分 BAC.,连接OA , OD, 作 OEAC 于 E ., OE=OD, O切AB于D,ODAB.,又 OEAC , AB是O的切线.,E,相信你是好样的!,相信你能行!,变式(一) 如图, 直角梯形ABCD中 , A=900 , AD/BC, E为AB上一点,且DE平分ADC, CE平分BCD,以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系? 线段CD与AD, BC之间又有怎样的关系?说明理由.,
