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1、分离变量法,李莉 ,物理学、力学、工程科学甚至经济和社会科学中等许多问题都可以归结为偏微分方程的定解问题。第一章中我们讨论了怎样将一个物理问题表达为定解问题，这一章以及以下几章的任务是怎样去求解这些定解问题，也就是说在已经列出方程和定解条件之后，怎样去求既满足方程又满足定解条件的解.,从微积分学得知，在计算诸如多元函数的微分和积分（重积分等）时总是把它们转化为单元函数的相应问题来解决，与此类似，求解偏微分方程的定解问题也可以设法把它们转化为常微分方程的定解问题来求解。分离变量法就是这样一种常用的转化方法。在这一章中，我们将通过一些实例，讨论分离变量法及其应用。,定解问题：两端固定弦的自由振动,
2、我们希望求得的特解具有分离变量的形式，即：,将它代入方程，得：,定解条件为：,方程为：,边界条件,初始条件,2.1 (1+1)维齐次方程的分离变量法,2.1.1 有界弦的自由振动,等式两端同除以,得：,令其等于常数,则有：,将,代入边界条件：,得：,这时必须有：,到此完成 第一步 ：分离变量,常微分方程,条件：偏微分方程和边界条件都是齐次的,函数的常微分方程定解问题,特点：1. 微分方程中含有待定常数2. 定解条件是一对齐次边界条件,只有当 取某些特定值时，才有既满足齐次常微分方程，又 满足齐次边界条件的非零解,的这些特定值称为本征值,相应的非零解称为本征函数,函数 的常微分方程定解问题，称为
3、本征值（固有值）问题,第二步 ：求解本征值问题,1）,微分方程的通解是:,将边界条件代入，可得：,这说明 时微分方程只有零解，不合理。因此舍去。,微分方程的通解是:,将边界条件代入，可得： ，,2）,因此舍去。,微分方程的通解是:,将边界条件代入，可得：,因为,故必有,求得本征值为：,相应的本征函数：,3）,第三步：求特解，并叠加出一般解,对于每一个本征值 ，,由方程：,可求出相应的 ：,代入 ，得到：,这样的特解有无穷多个 每一个特解都满足齐次偏微分方程和齐次边界条件 一般无法满足初始条件即一般无法找到常数 和 ，满足,由线形叠加原理可知，偏微分方程和边界条件都是齐次的，把任意有限个特解叠加
4、起来，仍然满足齐次方程和齐次边界条件的解。,把全部无穷多个特解叠加起来：,问题：如何确定一般解中的叠加系数 和 ？,一般解,若级数收敛，则仍满足齐次方程和齐次边界条件。,第四步 利用广义傅里叶级数展开式，确定待定系数,复习傅里叶级数：,如果函数是定义在 上的周期为 的周期函数 ，且是分段光滑的，则可展开为：,其中级数系数的计算公式为：,为奇函数：,为偶函数：,非零初始条件：,（I）,（II）,与广义傅里叶级数形式比较：,可知,将叠加系数代回一般解：,中，问题得解。,实质是利用本征函数的正交性确定叠加系数,本征函数的正交性：,（I）,（II）,在（I）式两端同乘以 ，逐项积分，得：,所以,同理，
5、对（II）式做同样的处理，可得,即,物理意义,波数，是单位长度上波的周期数,表示相位因子, 固有频率或本征频率，与初始条件无关,表示弦上各点的振幅分布,特解：,其中：,代表一个驻波,波节（节点）： 包括弦的两个端点在内，波节点共有 个。,初相位，由初始条件决定,波腹： ， 即 波腹点共有 个。,相邻节点之间的距离等于半波长，因此波长,，即,基波 的波称为基波，其频率最低，为： 波长最长，为：,整个问题的解正是这些驻波的叠加。所以，分离变量法也称为“驻波法”。,各次谐波 的波称为 次谐波,0,L,例1,求解下列定解问题,解：通过分离变量，即令,仍得到方程,但边界条件为：,相应的固有值问题为求解：
6、,1）,微分方程的通解是:,将边界条件代入，可得：,这说明 时微分方程只有零解，不合理。因此舍去。,重复前面的讨论：,微分方程的通解是:,将边界条件代入，可得： ，,2）,因此舍去。,微分方程的通解是:,将边界条件代入，可得：,因为,故必有,求得本征值为：,相应的本征函数：,3）,方程 的通解是：,于是，所求定解问题的解可表示为,利用初始条件确定其中的任意常数,因此，所求定解问题的解为,得：,*注：边界条件不同（一、二、三类），本征值和本征函数不同具体问题具体分析。,2.1.2 有限长杆上的热传导,设有一个均匀细杆，长为l，两端点的坐标为x=0，x=l，杆的侧面是绝热的，且在端点x=0处温度为
7、零度，而在另一端x=l处杆的热量自由地发散到周围温度是零度的介质中去。已知初始温度为 ，求杆上的温度变化规律。问题可以化为求解下列定解：,解：使用分离变量法,设：,代入到方程（2.1.15），得,（2.1.19）,和,（2.1.20）,（2.1.18）,由边界条件，得,（2.1.21）,本征值问题：,（2.1.19）,（2.1.21）,1）,微分方程的通解是:,将边界条件代入，可得：,这说明 时微分方程只有零解，不合理。因此舍去。,微分方程的通解是:,将边界条件代入，可得： ，,2）,因此舍去。,式（2.1.19）的通解为,（2.1.22）,考虑边界条件（2.1.21），由,由 得：,因为 ，
8、有,（2.1.23）,3）,本征值问题：,（2.1.19）,（2.1.21）,得,为了求出 ，（2.1.23）为,（2.1.23）,（2.1.24）,其中,方程（2.1.24）的解可以看作曲线交点的横坐标,可写为：,方程（2.1.24）有无穷多个根。由这些根可以确定出固有值 。,设方程（2.1.24）的无穷多个正根依次为,于是得到固有值问题（2.1.19）和（2.1.21）的无穷多个固有值,和相应的固有函数,将得到的固有值代入到（2.1.20）：,代入式 ，得到方程满足边界条件的一组特解为：,得：,其中 是待定常数。,由于方程（2.1.15）和边界条件（2.1.16）都是线性齐次的，所以上述解
9、的叠加仍然满足方程和边界条件。,（2.1.25）,（2.1.26）,最后考虑u（x，t）能否满足初始条件（2.1.17）：,由式（2.1.26）得,所以,用 乘上式两边，并在 上积分：,（2.1.27）,由三角函数系 在 上的正交性（P58），得：,注：随时间变化项： 波动方程：正弦，余弦，表振动 热传导方程：指数型衰减，表扩散,将式（2.1.29）代入到式（2.1.26），即得到定解问题的解。,得,（2.1.28）,（2.1.29）,记,*例2：求解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为,解：由题意即求定解问题,设 代入方程，分离变量得,本征值问题：,分三种情况讨论,(1) 当 时，方程通解
10、为：,代入边界条件得：,解得,所以舍去,(2) 当 时，方程通解为：,代入边界条件得：A=0 ，得特解：,由此可见，当边界条件为第二类边界条件时， 是一个本征值。相应的本征函数是 （常数）。,(3) 当 时，方程通解是：,代入边界条件得：D=0，,即：,相应的本征函数为：,综合(2)、(3)两种情况，得到本问题的本征值和本征函数分别为,本征值问题：,将 代入,于是，原方程满足边界条件的一般解为：,其中,将这些解叠加起来，得到：,解得：,由初始条件,由Fourier余弦展开定理，有,原定解问题的解为：,得：,总结：,直接使用分离变量法的前提：齐次方程，其次边界条件 分离变量法基本步骤： 分离变量：将偏微分方程问题转化为常微分方程问题 解本征值问题：确定本征值和本征函数 解余下的常微分方程，得到特解，并将所有特解叠加为一般解 利用初始条件确定一般解中的待定常数 边界条件不同，本征值和本征函数不同,
