2011走向高考数学9(a)-6

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1、基础知识 一、棱柱的概念与性质 (1)棱柱的概念 如果一个多面体有两个面 ，而其余各面都是 形，并且每相邻两个 的公共边都 ，由此面围成的 叫做棱柱 侧棱 底面的棱柱叫做斜棱柱；侧棱 底面的棱 柱叫做直棱柱；底面是 的直棱柱叫做正棱柱,互相平行,四边,四边形,互相,几何体,垂直于,不垂直于,正多边形,平行,(2)棱柱的性质 所有的侧棱都相等，各个侧面都是 ； 两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的 ； 过不相邻的两条侧棱的截面都是 (3)棱柱的侧面积和体积公式 直棱柱的侧面积和体积公式 如果直棱柱的底面周长是c，高是h，那么它的侧面积是S直棱柱侧 . 如果直棱柱的底面面积是S，高是h，那

2、么它的体积是V直棱柱 .,平行四边形,全等多边形,平行四边形,ch,Sh,斜棱柱的侧面积和体积公式 如果斜棱柱的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长为c，侧棱长为l，那么斜棱柱的侧面积是S斜棱柱侧 . 如果斜棱柱的直截面的面积为S，侧棱长为l，那么它的体积是V斜棱柱 .,cl,Sl,二、长方体 (1)几个概念：底面是 叫做平行六面体 叫做直平行六面体， 叫做长方体 叫做正方体 (2)长方体的对角线的性质：长方体的一条对角线长的平方等于 ,平行四边形的四棱柱,侧棱与底面垂直的平行六面体,底面是矩形的直平行六面体,棱长都,相等的长方体,一个顶点上三条棱长的平方和,温馨提示：(1)正四

3、棱柱是底面为正方形的直四棱柱，因此正四棱柱一定是长方体，长方体不一定是正四棱柱,三、棱锥的概念和性质 (1)棱锥：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是 的三角形，那么这个多面体叫做棱锥 (2)性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，并且它们面积的比等于 ,有一个公共顶点,截,得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比,归纳拓展：(1)如果棱锥的各侧棱相等或各侧棱与底面成等角，那么顶点在底面上的射影是底面多边形的外心； (2)如果棱锥的各侧面与底面所成二面角均相等，那么顶点在底面上的射影是底面多边形的内心； (3)如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，那么顶点在底面上的射影是底

4、面三角形的垂心,四、正棱锥的概念与性质 (1)正棱锥：如果一个棱锥的底面是 ，并且顶点在底面的射影是 ，这样的棱锥叫做正棱锥 (2)正棱锥的性质： 正棱锥各侧棱 ，各侧面都是 ，各等腰三角形底边上的高叫做正棱锥的斜高，正棱锥的斜高相等 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个 ；正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个 ,正多边形,底面的中心,相等,全等的等腰三,角形,直角三角形,直角三角形,五、棱锥的面积与体积 (1)棱锥的全面积(S全)等于底面积(S底)和侧面积(S侧)之和，即S全 若c为正棱锥的底面周长，h为斜高，则S侧 ch. (2)棱锥的体积等于它的底面积(S)与高(h)的

5、乘积的三分之一，即V棱锥 Sh.,S底S侧,易错知识 一、概念理解错误 1下面是关于正三棱锥的四个命题： 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 其中，真命题的编号是_(写出所有真命题的编号),解题思路：顶点在底面内的射影是内心，又底面是正三角形，故为中心，正确；如图(1)中，ACBCCDBDADAB，每个侧面都是等腰三角形，但此棱锥不是正三棱锥，错误；如图(2)，以正六边形ABDEF

6、G的一边AB为边，作正ABC，正六边形的中心O为三棱锥SABC的顶点S的射影满足条件：三棱锥的侧面积全相等，但不是正三棱锥，错误；由已知，顶点在底面内的射影是底面三角形的内心，也是外心，故底面三角形为正三角形，又可推导出各侧棱、斜高彼此相等，故各侧面为具有公共顶点的等腰三角形，故棱锥为正三棱锥，正确综上所述正确,失分警示：误区1：判断是错误的，原因是把多面体的底面理解为其底面所在的平面，如图(2)，二面角SACO、SBCO、SABO都相等，但不是正棱锥注意，侧面SAB与底面ABC所成的二面角是SABC，不是SABO.,误区2：判断或是正确的，直观认为正三棱锥满足、的条件，而又举不出反例，就认为

7、正确 误区3：判断错误，原因是由三角形的内心、外心重合而推导不出三角形为正三角形，或者对正三棱锥的概念理解不透，底面是正三角形，顶点在底面内的射影是底面正三角形的中心两个条件吃不准，而妄加判断 启示：对棱柱、棱锥、正棱柱、正棱锥的有关概念，相应性质要深刻理解，把握准确，特别是正棱柱、正棱锥条件要求很高，不可缺少 答案：,二、公式应用错误 3如图，设三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PAQC1，则四棱锥BAPQC的体积为 ( ),解题思路：设侧面AA1C1C的面积为S，B到侧面AA1C1C的距离为h，则V Sh.由于PAC1Q.则PQ平分侧面AA1C1C

8、的面积，即四边形APQC的面积为 S，由棱锥的体积公式得VBAPQC,失分警示：三棱柱的体积由一个侧面面积S与这个侧面和它相对棱的距离h表示为V Sh(可以用补形法推导公式)这个公式可能有的同学记不住或不会灵活应用，而使本题思维受阻 答案：C,回归教材 1下列说法正确的是 ( ) A有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C底面是正多边形的棱柱是正棱柱 D侧面是全等矩形的棱柱是正棱柱,解析：考查4个命题： A不正确，两个相对的侧面是矩形，但另一对相对侧面不是矩形，这样的棱柱不是直棱柱； B正确，根据两相交平面垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面，可得到

9、侧棱必垂直于底面； C不正确，当侧棱不与底面垂直时，不是正棱柱； D不正确，如底面是菱形的直棱柱符合条件，但这样的棱柱不是正棱柱故选B. 答案：B,2(教材改编题)有四个命题：底面是矩形的平行六面体是长方体；棱长相等的直四棱柱是正方体；有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；对角线相等的平行六面体是直平行六面体其中正确的个数是 ( ) A1 B2 C3 D4,解析：对于，不正确，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍然是斜平行六面体；对于，不正确，若底面是菱形，底面边长与棱长相等，但该直四棱柱不是正方体；对于，不正确，因为有两条侧棱垂直于底面一边，这时两条侧棱所在的侧面

10、是矩形，但是不能推出侧棱与底面垂直；对于，正确，由对角线相等可得出平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，这个平行六面体是直平行六面体 答案：A,3正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 ( )答案：C,4(教材改编题)已知长方体的高是2cm，长与宽的比为43，一条对角线长为 则它的长与宽分别为( ) A4,3 B3,4 C8,6 D6,8答案：C,5(2009江苏，8)在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_答案：18,【例1】 如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“

11、等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是 ( ) A等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上,思路点拨 过顶点作底面的垂线，找到线面角；利用四点共圆的条件判断A、C；找到球心判断D.,解析 如图所示，,等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成的角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成的角不一定相等或互补

12、(若为正四棱锥则成立)故仅命题B为假命题,答案 B 拓展提升 解决这类问题需在理解棱柱、棱锥几何特征与性质的基础上，准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，高考中往往综合考查线面位置关系，需要有较强的空间想象能力当需要否定一个命题时，举一个反例即可作为选择题，利用四选一的特点，排除三个，可确定第四个为答案,探究 等腰四棱锥的底面形状确定吗？ 解析 不确定根据定义，底面四边形只要是一个圆内接四边形即可,下面是关于四棱柱的四个命题： 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； 若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱； 若四棱柱的

13、四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的编号是_(写出所有真命题的编号) 答案：,解析：若有两个侧面垂直于底面，如果是两个相邻的侧面垂直于底面，则其交线必垂直于底面，就可以判定为直棱柱如果是两个相对的侧面垂直于底面，则不能判定但题目没有强调是相邻，所以不能判定 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则其交线垂直于底面，而侧棱与该交线平行，所以侧棱垂直于底面，满足条件的四棱柱为直棱柱 由各边长相等且全等的菱形为侧面，可组成一个四棱柱，则其可能为平行六面体，而非一定是直四棱柱 四棱柱的过相对侧棱的截面为平行四边形，若其对角线相等则其为矩形，即侧棱垂直于底面，所以满足条件的四棱柱为直四

14、棱柱.,【例2】 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE、BCF均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为 ( ),解析 如下图所示，过BC做EF的直截面BCG，做面ADM面BCG，,答案A,(2009辽宁，11)正六棱锥PABCDEF中，G为PB的中点则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比为( ) A1：1 B1：2 C2：1 D3：2 答案：C,解析：G为PB中点， VPGACVPABCVGABC 2VGABCVGABCVGABC. 又多边形ABCDEF是正六边形， SABC SACD， VDGACVGACD2VGABC， VDGACVPGAC2：

15、1.,【例3】 (2009山东，18)如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，E，E1分别是棱AD，AA1的中点(1)设F是棱AB的中点，求证：直线EE1平面FCC1； (2)求证：平面D1AC平面BB1C1C.,证明 (1)证法一：取A1B1的中点为F1，连结FF1，C1F1，由于FF1BB1CC1，所以F1平面FCC1，因此平面FCC1即为平面C1CFF1. 连结A1D，F1C，由于A1F1綊D1C1綊CD，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1DF1C.又EE1A1D，得EE1F1C，而EE1平面FCC1，F1C平面FCC1，故EE1平面FCC1.,证法二：因为F为AB的中点，CD2，AB2，ABCD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以ADFC.又CC1DD1，FCCC1C，FC平面FCC1，CC1平面FCC1，所以平面ADD1A1平面FCC1，又EE1平面ADD1A1，所以EE1平面FCC1.,