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1、喜第六章常微分方程初值问题数值解法6.1基本理论一阶常微分方程的初值问题:芒tf惭m屑Eycrozy,2例:方程xy-2=4x二=+粤一仪:万Gz,刀=2不+4“丁绑出初值9()二-一就得到一阶常微分方程的初值问题:I别|dxy=3解的存在及唯一性:只要函数(x,y)适当光滑连续,丁关于y满足李普巾兹(Lipschilz)条件,即存在常数,使得_/太y)-/(囊v歹)】外y-歹_由常微分方程理论知,初值闰题的解必存在且唯一。团微分方程的数值解:设方程解y的存在区间是a,令Q=xyx1.x=D,其中Ruzruj-e,袁是等跋节点=(BudJ/n,称为步灯。当y(g)的解析表达式不容易得到或根本无
2、法得到时,可用数值方法求得y(r)在每个节点xt上y(rJ的近似值,用y表示,即ytxsp(eJ,则称y,y,.y,为微分方程的数值解.妮rA.用差商代替微商(导数)的方法人E更|asec2CcJ-sCcJ)Qxn北n砂用h孙3Cejj,“3交】代晏,则:2不s5“(力3+厅(ny】z0h2口数值积分方法用数值积分方法离散化:广伟e怡二G00用Joua,y代替y(XyCx),对右端积分朱用取左端点的“FCnyDJar阡Cro2,则有差分方程:也可用梯形公u一J心育(余二01.“化为解差分方程初值问题C。7avor级数法在c,附近将yC9按7roxlor级数展开:2143F心时二3Cc)+4D(
3、x)+告yg。,=y(x)+/(x.y(兀)+奎yJ取绪性部分,28【兰心y-描Gr,刃!的近似值:卫,卫一厅Ccn0工2Tavlor展开法不仅可得到求数值解的公式,旦宰易估计戢断误差。是解常微分方程初值问题最简单6.2欧拉(Eular)方法Q一、(前向)欧拉方法利用差商得计算公式:Jj一y=y(繁)加亏0一.几何意义:由(xro)出发做曲线y=y(x)的切线(存在!),该点切线斜率为E一|f(ro2。东cLroaj由于丁ray,】及(xry)已知,则切线方程为:【)瞰Cr-xoy()3一。+(x一X一巩+(r=-ADYCty卫,Qa等步长为h=t,-xy由切线方程算出y,:3心F仪2前向欧拉法,由左矩形数值依次类挪,踹步排算出弛户1艺嘎谬二剩求积得到引咤一卫心斧COro又厂02.欧拉折线法实际上用一系列直线组成的折线近似代替曲线y=y(gJ,用析线交点处的y近似代萧精确解yCxuJ注意:这是“扯线法“而非“切线法“除第一个点是曲线切线外,其他点不是!备/_./团误差分析:吵欧拉公式的局部截断误差:DCXe1)一i将y(J在x处泰勒展开:1y3G0=(xD+K0JCx一一+(兀沥沥河仪RcRiLXag一y(Xk)+/(x，y(兀兔)+力Gro+e截断误差:(Xx+l)一y=o(R)
