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1、第6节三次样条插值问题胡景在实际问题中,桅些变量之间的函数关系是存在的,但通常不能j式子表示,只能实验、观测得到y=+)在一系列离散点上的函数值,即已知函数表(刀如何计算f()(E#xri=0,b.,)?我们希望寻求一个简单且易于计算的函数p(x)来近似了),即/(滩)矽(溅)，俭得fGJ=gpGa)G=0,L.切,其中p(x)可选为多项式v乃角多项式、有理函数或样条函数等。2.亏2.1.1“插值问题的提出设函数y=G在区间o,5上有定义,且已知在点2s吴.a5上的值yo,yu,.,y,眙存在一简单函数pcD,使PCx)=孔一0动吊动成立,就称pQ9为G9的插值函数,点x,x,.,称为插值节点
2、,包含节点的区间a,b称为插值区间,求插值函数PG9的方法称为插值法式(L1)称为插值条件,fC9称为被插值函数。若P()是次数不超过z的代数多项式,即P(g)二Q十Qix十.十xCla27其中心,为实数,就称乙CxD为插值多项式,相应的插值法称为多项式插值.若PCr)义分殿的多项式i舫称为分段插信;若PCx)为三角多项式,就称为三角插值.从儿何上看,插值法就是确定曲线y=P(o),使其通过给定的n+1个点Gs,y),i=0u-.,n,并用它近似已知曲线y=C0.见图2-1.2.1.2多项式插值定理“若插值节点xox,.,x,是n+1个互异的点,则满足插值条件只(a)=力匹=0b.口)的n次插
3、值多项式尺(=十QX十Q十+是存在而且唯一的。证明:会P糊值条件得fioi十Inaio十coane十CCoXC6二卫oCro十X十c十057二孔1Cro十02Eu十。十,二卫,国团;系数行列式是Vandermonde行列式:n1沥e1asa:2。世仲巨J0:因:0SJisnn一35故由Cramer法则知,话方程组解存在唯一,即多项式(系数)存在唯一。2.2拉格朗日插值2.2.1“线性插值与抛物插值对给定的插值点,可以用多种不同的方法求得形如U2)的插值多项式oOA|f品人-十一一L一十十P井Qo十Qx十.十Q要求线性插值多项式D,使它满足己C)三J卫Crcn)一hi-其儿何意义就是通过两点(yu,(的直线,如图2-2.0XKK弋图2-2
