《概率统计ch3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率统计ch3（107页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,1 二维随机变量及其分布函数 2 二维离散型随机变量 3 二维连续型随机变量 4 二维随机变量函数的分布,第三章 二维随机变量及其分布,2,实际问题中很多随机现象是由两个或多个随 机因素造成的，需用多个随机变量描述。,第三章 二维随机变量及其分布 1. 二维随机变量分布函数,打靶时命中点的坐标需要用两个随机变量(X,Y)来确定.,体检时身高，体重也需要用两个随机变量 (X,Y)来确定.,例如：,某高考考生语数外三门课的成绩需要三个随机变量 (X1, X2, X3) 来确定.,1 二维随机变量及其分布函数,3,由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .,内容：,一
2、、联合分布函数,1. 定 义,3. 二维分布函数性质：,4.n维随机变量的分布函数,2.二维分布函数的几何意义,第三章 二维随机变量及其分布 1. 二维随机变量分布函数,4,1. 定 义,第三章 二维随机变量及其分布 1. 二维随机变量分布函数,5,2. 二维分布函数的几何意义,第三章 二维随机变量及其分布 1. 二维随机变量分布函数,6,3. 二维分布函数性质：,（1）F (x , y )分别对每个变量单调不减，即 对固定的 y , 当 x2 x1 时，,对于任意y ,且,对固定的 x , 当 y2 y1 时，,对于任意x ,第三章 二维随机变量及其分布 1. 二维随机变量分布函数,7,（3
3、） F (x , y )关于每个变量右连续. F (x , y )=F(x + 0, y), F (x , y )=F(x, y + 0),第三章 二维随机变量及其分布 1. 二维随机变量分布函数,8,(4)的证明,第三章 二维随机变量及其分布 1. 二维随机变量分布函数,9,说 明:,任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；反之：如果某个二元函数F(x, y)具有这四条性质，那么，必存在随机变量X与Y, 使得F(x, y)是二维随机变量(X, Y) 的分布函数,第三章 二维随机变量及其分布 1. 二维随机变量分布函数,10,4. n维随机变量的分布函数,第三章 二维随机变量及其分布 1.
4、 二维随机变量分布函数,11,二、边缘分布函数,已知(X,Y)的联合分布函数F(x, y)，分别讨论,X和Y各自的分布函数FX(x), FY( y).,由定义：,称FX(x)为X的边缘分布函数。,同理，定义Y的边缘分布函数,第三章 二维随机变量及其分布 1. 二维随机变量分布函数,12,13,例.,第三章 二维随机变量及其分布 1. 二维随机变量分布函数,(3) 求P(Y3).,14,第三章 二维随机变量及其分布 1. 二维随机变量分布函数,x (-, +),15,（3）求P(Y3),第三章 二维随机变量及其分布 1. 二维随机变量分布函数,同理，Y的边缘分布函数为：,y (-, +),16,
5、三、随机变量的独立性,定义：设X, Y为随机变量, 若对任意实数x, y,随机事件X x与Yy相互独立，即：,或 F(x, y)= FX(x)FY( y).,则称随机变量X与Y相互独立.,第三章 二维随机变量及其分布 1. 二维随机变量分布函数,17,定理：,设随机变量X与Y相互独立, f (x)与g(y)为连续或分段连续函数，,则随机变量 f (X)与g(Y)也相互独立。,例如, 设随机变量X与Y相互独立, 则X2与Y3相互独立，sinX与cosY相互独立。,第三章 二维随机变量及其分布 1. 二维随机变量分布函数,18,2 二维离散型随机变量,第三章 二维随机变量及其分布 2. 二维离散型
6、随机变量,1）定义,内容：,2）联合分布律性质及性质,3) 边缘分布律,4) 联合分布函数与边缘分布函数,5) 独立性条件,19,1）定义：,第三章 二维随机变量及其分布 2. 二维离散型随机变量,20,2）二维离散型随机变量的联合分布律及性质,第三章 二维随机变量及其分布 2. 二维离散型随机变量,21,第三章 二维随机变量及其分布 2. 二维离散型随机变量,22,现求随机变量X的边缘分布律,3) 二维离散型随机变量边缘分布律,同理，随机变量Y的边缘分布律,23,第三章 二维随机变量及其分布 2. 二维离散型随机变量,24,25,4) 二维离散型随机变量的联合分布函数与边缘分布函数,边缘分布
7、函数为：,26,5) 二维离散型随机变量独立性条件,若对一切X，Y的可能取值 (xi , yj) 成立：,则，X, Y相互独立 .,27,例.,：32种，X=0,Y=1两种： 1#球B, 2#球C, 或1#球C, 2#球B,28,第三章 二维随机变量及其分布 2. 二维离散型随机变量,29,4/9 4/9 1/9,4/94/91/9,求边缘分布律：,1,第三章 二维随机变量及其分布 2. 二维离散型随机变量,30,得到：X的边缘分布律：,Y的边缘分布律：,第三章 二维随机变量及其分布 2. 二维离散型随机变量,31,例.,第三章 二维随机变量及其分布 2. 二维离散型随机变量,32,第三章 二
8、维随机变量及其分布 2. 二维离散型随机变量,33,第三章 二维随机变量及其分布 2. 二维离散型随机变量,34,例. 设离散型X, Y相互独立, 完成(X,Y)的联合分布律。,Y,X,第三章 二维随机变量及其分布 2. 二维离散型随机变量,35,1）定义： 对于二维随机变量 ( X,Y )的分布函数 F (x , y )，如果 存在非负函数p (x , y )，使得对于任意的 x，y有：,则称 ( X,Y ) 是二维连续型随机变量，函数 p (x , y ) 称为 ( X,Y )的联合概率密度简称概率密度.,第三章 二维随机变量及其分布 3. 二维连续型随机变量,3 二维连续型随机变量,36
9、,2) 概率密度的性质：,40 设 G 是平面上的一个区域，点 ( X,Y )落在 G 内的概率为：,此公式很重要！,第三章 二维随机变量及其分布 3. 二维连续型随机变量,37,几何上, z = p(x , y) 表示空间曲面，上式即表示P(X,Y)G的值等于以 G 为底，以曲面z = p (x , y)为顶的柱体体积.,第三章 二维随机变量及其分布 3. 二维连续型随机变量,38,为X的边缘密度。,求随机变量X和Y的概率密度。,3) X, Y的边缘密度,X的边缘分布函数为,第三章 二维随机变量及其分布 3. 二维连续型随机变量,39,为Y的边缘密度。,同理，Y的边缘分布函数为,第三章 二维
10、随机变量及其分布 3. 二维连续型随机变量,边缘分布函数与边缘密度函数的关系,40,4) 二维连续型随机变量独立性条件,第三章 二维随机变量及其分布 3. 二维连续型随机变量,已有结论：当F(x, y)= FX(x)FY( y) 时，,随机变量X与Y相互独立. 化为, 对任意x,y：,得到用密度函数表示的独立性条件：,41,例.,第三章 二维随机变量及其分布 3. 二维连续型随机变量,42,43,第三章 二维随机变量及其分布 3. 二维连续型随机变量,独立性,44,第三章 二维随机变量及其分布 3. 二维连续型随机变量,45,第三章 二维随机变量及其分布 3. 二维连续型随机变量,46,y,x
11、,解：,47,y,x,y=x,48,49,50,（1）二维均匀分布,常用二维连续型随机变量,第三章 二维随机变量及其分布 3. 二维连续型随机变量,51,二维均匀分布背景,在平面区域D随机投点，落点坐标(X, Y), 则(X, Y)服从区域D上的二维均匀分布.,甲乙在一小时内随机到达车站，到达时刻 分别为X, Y，则(X, Y)服从区域D上的二维 均匀分布. D= (x, y)| 0x60, 0y60,52,二维均匀分布几何意义,G,第三章 二维随机变量及其分布 3. 二维连续型随机变量,53,54,e-2,55,56,57,若二维随机变量（X,Y）具有概率密度,记作（ X,Y）,则称（ X,
12、Y）服从二维正态分布.,（2）二维正态分布,第三章 二维随机变量及其分布 3. 二维连续型随机变量,58,二维正态分布密度图,x,z,y,59,二维正态分布剖面图,60,二维正态分布的边缘分布仍为正态分布,命题,即：,第三章 二维随机变量及其分布 3. 二维连续型随机变量,61,证明：,62,63,二维正态随机变量的独立性,=0时, 二维正态(X, Y)的密度函数:,X, Y相互独立的充分必要条件为:=0.,证明：,第三章 二维随机变量及其分布 3. 二维连续型随机变量,64,第三章 二维随机变量及其分布 3. 二维连续型随机变量,65,由此得,=0.,特别,令 x = 1, y = 2:,反
13、之，若 (X,Y) 相互独立，则对任意实数x, y,第三章 二维随机变量及其分布 3. 二维连续型随机变量,66,第三章 多维随机变量及其分布,小结：1 二维离散型随机变量的联合分布率的定义及性质。2 联合分布函数的定义及性质。3 二维连续型随机变量的联合概率密度的定义及性 质，特别是,4 二维均匀分布和二维正态分布。,67,68,1 二维随机变量及其分布函数2 二维离散型随机变量3 二维连续型随机变量4 二维随机变量函数的分布,第三章 二维随机变量及其分布,69,4 二维随机变量函数的分布,即已知(X,Y)的概率分布，求Z=g(X,Y) 的概率分布。,对于二维随机变量(,)，实函数 z =
14、g( x,y )，可定义 随机变量(,) 的函数Z=g(X,Y), 讨论Z的分布问题：,70,第三章 二维随机变量及其分布 4. 二维随机变量函数的分布,(X,Y)离散型，则Z=g(X,Y) 为离散型，求Z的分布律.,2. (X,Y)连续型，z=g(x,y)只取有限个或可列无限个值，则Z=g(X,Y)为离散型，求Z的分布律.,3. (X,Y)连续型，z=g(x,y)为连续或分段连续函数，则Z=g(X,Y)为连续型，求Z的密度函数。,71,当(X ,Y)为离散型时, Z=g(X,Y)也是离散型,1.(X,Y)离散型，Z=g(X,Y)离散型,第三章 二维随机变量及其分布 4. 二维随机变量函数的分布,求Z的分布律. 已知(X ,Y)的分布律：,72,例.已知(X,Y)分布律, 求Z=X+Y分布律。,解:将X+Y的值写在(X,Y)相应处,按(Z)值概率相加.,p,p,合并得Z分布律：,73,例.,第三章 二维随机变量及其分布 4. 二维随机变量函数的分布,74,第三章 二维随机变量及其分布 4. 二维随机变量函数的分布,75,结论：,第三章 二维随机变量及其分布 4. 二维随机变量函数的分布,称为泊松分布的可加性,76,2. (X,Y)连续型，Z=g(X,Y)离散型,77,(2)再求Z的密度函数:,
