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向量的数量积与向量积,一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,一、两向量的数量积,实例,1、数量积的定义及其性质,定义,记作,定义,数量积也称为“点积”、“内积”.,定义,结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.,关于数量积的说明：,规定: 零向量与任何向量都垂直.,证明,证明,数量积符合下列运算规律：,（1）交换律：,（3）分配律：,（4）若 为数：,若 、 为数：,（2）结合律：,仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可 仿此证明,2、数量积的坐标计算式,即两向量的数量积等于它们对应坐标乘积之和.,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两非零向量垂直的充要条件为,3、两非零向量夹角余弦的坐标表示式,解,解,解,解,所以,例4,二、两向量的向量积,1、向量积的定义与性质,向量积也称为“叉积”、“外积”.,定义,/,关于向量积的说明：,向量积符合下列运算规律：,设,2、向量积的坐标计算式,向量积还可用三阶行列式表示,/,由上式可推出,按第一行展开就得到,根据向量积的定义，可知,例如，,解,三角形ABC 的面积为,解,所以,解,和,证明,三、小结,(一)、向量的数量积,1、定义,2、数量积的坐标计算式,3、两非零向量夹角余弦的坐标表示式,(二)、两向量的向量积,1、定义,2、向量积的坐标计算式,
