《高等代数教案ppt培训课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数教案ppt培训课件（351页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高等代数 (Higher Algebra),Ch.1 基本概念,Ch.2 多项式,Ch.3 行列式,Ch.4 线性方程组,Ch.5 矩阵,Ch.6 线性空间,Ch.7 线性变换,Ch.8 欧几里得空间,Ch.9 二次型,Ch.10,Ch. 1,Ch.2,Ch.3,Ch.4,Ch.5,Ch.6,Ch.7,Ch.8,Ch.9,Ch.10,一般性介绍,数学,数学分析，高等代数，解析几何,数学基础: 数理逻辑- 公理集合论, 证明论, 模型论, 递归论,数学分析,实变函数论，复变函数论，多复变 函数论，测度论，泛函分析，变分 法，函数逼近论，非标准分析，小 波分析，分形几何，常微分方程， 偏微分方程，
2、 积分方程， 动力系 统, 特殊函数，数值分析, 计算方 法, ,高等代数,数论, 近世代数，线性代数, 群论, 域 论与伽罗瓦理论, 环与代数, 模论, 范 畴论代数K理论, 同调代数, 李代数, 序 与格, 离散数学, 计算机科学, 矩阵论, 密码学, ,解析几何,高等几何, 代数几何, 微分几何, 凸 集几何与距离几何, 一般拓扑学, 代 数拓扑学, 流形拓扑学, 分形几何, 计算机辅助几何设计, 计算机图形 学, ,概率论,数理统计, 随机过程, 统计学, 经济 数学, ,其它,生物数学, 模糊数学, 运筹学, 控制 理论, 通信与信息理论, 优化理论, 计算数学, .,计算机有关的课
3、程,数据结构, 计算机原理, C+语言, Java语言, 离散数学, 数据库原理, 操作系统, 程序设计方法，计算机 网络，信息系统, 汇编语言, 逻辑 电路, 软件工程, 最新软件分析, 通 信与信息理论, 算法分析, .,高等代数目的及要求,1. 为什么要学高等代数？,3. 作业要求：(1) 书面作业：A4大小的活页纸；(2) 上网作业：可自己检查, 帮助理解；(3) 平时测验:,4. 如何评定成绩？,5.参考书目：线性代数及应用 王晓峰主编 高等代数(北大) 高教出版社, 1.1 集合,Ch. 1 基本概念,0.1, 1.2 映射,1.2, 1.3 数学归纳法,1.3, 1.4 数论初步
4、,1.4, 1.5 整数和整环,1.5,1.1 集合,Ch. 1 基本概念,集合的概念 集合的表示,元素的概念,常用记号 常用集合,有限集合 无限集合,子集 交集 并集 空集 补集 差集,笛卡尔集,集合的运算,1.2 映射,注意:如果f 是从A到B的一个映射,定义2 设f 是一个从A到B映射. 如果对任意的bB, 都存在一个a A , 使得f (a)= b 则称 f 是一个从A到B的满射.,定义4 既是满射又是单射的映射称为双射.,定义3 设f 是一个从A到B映射. 对任意的a1, a2A , 如果a1a2, 就一定有f (a1) f (a2) 则称 f 是一个从A到B的单射.,映射的合成运算
5、:,合成运算满足结合律:,合成函数的例子：,定理 1.2.1 设f 是一个从A到B映射. 那么以下条件等价：(i) f 是一个双射； (ii) 存在B到A映射g, 使得 gf=jA , fg=jB 并且，当(ii)成立时，映射 g 由 f 唯一确定.,定义: 上述定理中由 f 唯一确定的映射g称为f 的逆映射，记为 f 1. 并且f 1f=jA , f f 1=jB,代数运算： 设A 是一个集合. 称一个从AA到A映射为A上的一个代数运算.,1.3 数学归纳法,最小数原理 正整数集合N*的任意非空子集必有一个最小数.,数学归纳法原理 设有一个与正整数n有关的命题P(n). 如果(i) P(1)
6、为真(即:当n=1时命题成立);(ii) 假设P(k)为真能推出P(k+1)也为真； 那么对所有的正整数n，命题P(n)为真.,例 证明, 所有的整数n3时满足2n+12n,第二数学归纳法原理 设有一个与正整数n有关的命题P(n). 如果(i) P(1)为真;(ii) 假设对任意正整数hk, P(h)为真能推出P(k)也为真； 那么对所有的正整数n，命题P(n)为真.,例 证明, 所有的大于1的正整数n均能分解 成素数之积.,1.4 数论初步,带余除法: 设a, b是整数，b0. 则a可唯一地表为a=bq+r 其中q, r为整数并且0r|b|0.,2. 如果 b=0, 那么 gcd(a, b)
7、=a. 如果b0, 由带余除法存在 q 和 r 使得a=bq+r |b|r0,定理 若d=(a, b)，则存在整数p, q使得pa+qb=d,例 求(726, 393), 并求整数p和q使得(726, 393)=726p+393q,定理的推论 整数a, b互素当且仅当存在整数p, q使得pa+qb=1,定理 若a|bc, 并且(a, b)=1，那么a|c.,1.5 数环和数域,定义1 设S是一个全体复数集合C的一个非空子集. 如果对于任意的a, bC, 都有a+b, ab, abC 则称C为一个数环.,数环的例子：,定义2 设F是一个数环. 如果(i) F含有至少一个非零元；(ii) 对于F中
8、任意的非零元a, 均存在bF,使得ab =1. 则称F为一个数域.,数域的例子：,定理1.5.1 任何数域均包含了有理数域.,Exercises,PP.6-7: 3. 4. 6.(i),(iii); PP.14-15: 3. 7. 8. 10; PP.18: 1. 2; PP.23: 2. 4. 5.,Ch. 2多项式(Polynomial), 2.1 一元多项式(unary polynomial),2.1, 2.2 带余除法 整除 (Division with remainder),2.2, 2.3 最大公因式 (greatest common factor: gcd),2.3, 2.4 不
9、可约(irreducible) 多项式 唯一因式分解定理, 2.5 重因式, 2.6 多项式函数, 2.7 代数基本定理复系数与实系数多项式的因式分解, 2.8 有理系数多项式, 2.9 多元多项式, 2.10 对称多项式,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,2.4,2.10,补充一：三、四次方程的公式解,补充二：插值法,*,*,Ch. 3. 多项式 (Polynomials),2.1 一元多项式(unary polynomials),2.1 一元多项式的概念及其运算(operation),定义1 设R是一个数环R上一个文字x (xR) 的一元多项式指的是形式表达式 an xn + an1
10、 x n1+a1 x +a0 (1) 其中n是任意非负整数, 系数ai (i=0, 1, , n)属于R, x称为不定元,系数全为零的多项式称为零多项式，记为0,在多项式(1)中, aixi 称为i次项, ai称为i次项的系数, i=0, 1, , n. 零次项a0x简记作a, 也称为常数项,用(x)，g(x)，等来代表一元多项式,定义2 数域P上的两上一元多项式相等当且仅当它们的同次项的系数相等,设(x)代表多项式(1)如果an0, 那么anxn称为多项式(x)的首项(最高次项)，an称为首项系数，n称为多项式(x)的次数(degree)，记作(x).,零多项式0的次数定义为 ,记数环R上的
11、所有一元多项式组成的集合作Rx,设(x), g(x)Px ，其中(不妨设nm) (x)anxn+an1 xn1+a0=g(x)=bmxm+bm1xm1+b0=(i) (x)与g(x)的和是一个多项式h(x)= 其中h(x)的 i 次项的系数为ci=ai+bi， i=0, 1, , n 记作 h(x)=(x)+g(x),(ii) (x)与g(x)的乘积是一个多项式p(x)= 其中p(x)的s次项的系数为ds= , s=0, 1, , n+m 记作p(x)=(x)g(x).,1 加法交换律，即+g=g+;,运算法则: (x)，g(x)Px，有,2 加法结合律，即(+g)+h=+(g+h);,3 零
12、多项式具有性质: 0+=+0=;,4 设(x)=aixi，定义(x)=(ai)xi，则+() =()+=0, 称是的负元素；,5 乘法交换律，即g=g；,6 乘法结合律，即(g)h=(gh);,7 零次多项式1具有性质：1=1=；,8 乘法对于加法的分配律：(g+h)=g+f h 和 (g+h)=gf+hf,定理2.1.1 设(x)，g(x) Rx, 则(i) (g)max(f )，(g)(ii) 如果0, g0, 则g；并且有(g)= ()+ (g),由定理2.1.1的证明，得：,多项式乘积的首项系数等于因子首项系数的乘积,推论2.1.2 (x)g(x) =0 当且仅当(x)和g(x)中至少
13、有一个是灵多项式,推论2.1.3 (9 乘法消去律) 如果(x)g(x) =(x)h(x), 且(x)0, 则g(x)=h(x),定义 设R是一个数环，称R上所有一元多项式的全体Rx关于如上定义的多项式加法和乘法构成的环为R上一元多项式环.,2.2 带余除法 整除性质初步Division with remainder divisibility,定理2.2.1(带余除法) 对于Fx中任意两个多项式(x)与g(x)，其中g(x)0，在Fx中存在唯一的一对多项式h(x)，r(x)，使得(x)=h(x)g(x)+r(x), (r(x)(g(x) 式中的h(x)称为g(x)除(x)的商(quotient)，r(x)称为g(x)除(x)的余式(remainder).,以下总设F是一个数域.,定义5 设(x), g(x)Fx，使得(x)=h(x)g(x) 则称g(x)整除(divide)(x), 记作g(x)|(x). 当g(x)整除(x)时, g(x)称为(x)的因式(factor) (或因子), (x)称为g(x)的倍式(multiplier).,
