函数的单调性 毕烨 高中数学必修一

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1、函数的单调性,北京市苹果园中学 毕烨,点此播放讲课视频,目 录,目 录,教学内容分析,1,一、教学内容分析,教材内容（教材位置，课时设置）,数学必修一B版 第二章第一节 共2课时，本节课为第1课时,点此播放讲课视频,一、教学内容分析,2.教材的地位和作用,单调性本身,一、教学内容分析,2.教材的地位和作用,本章节教学,对函数概念的 延续和扩展,为研究其他性质 起示范作用,后续研究函数 的基础,一、教学内容分析,函数知识网络,2.教材的地位和作用,一、教学内容分析,2.教材的地位和作用,高中数学学习,数形结合思想 研究函数性质的有力工具,点此播放讲课视频,目 录,二、学生情况分析,简单函数、函数

2、概念表示、函数图象、增减性,知识结构,能力结构,学习心理,本班特点,观察事物能力，抽象归纳的能力和语言转换能力,渴望进一步学习的积极心态,理科实验班，数学素养较好,目 录,三、教学目标分析,（1）从形与数两方面理解单调性的概念（2）绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法,1、知识与技能：,三、教学目标分析,（1）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力（2）通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想（3）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽象，从特殊到一般，从感性

3、到理性的认知过程,2、过程与方法：,三、教学目标分析,通过知识的探究过程培养细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证的观点思考问题,3、情感态度价值观：,目 录,四、教学重难点分析,教学重点：函数单调性的概念形成和初步运用 教学难点：函数单调性的概念形成,目 录,五、教学方法分析,普通高中数学课程标准(实验)指出：“高中数学课程应倡导自主探索等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的再创造过程。”,教学方法： 启发式教学法和学生探究式教学法,目 录,初步探索 概念形成,概念深化 延伸拓展,证法探究 应用定义,小结评价 作业创新,六、教

4、学过程设计,六、教学过程设计,数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”,x,问题1：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图象，并且观察函数变化规律？,六、教学过程设计,增函数、减函数,单调性是局部性质,？ ？,问题2,初步探索 概念形成,六、教学过程设计,点此播放说课视频,六、教学过程设计,函数的单调性,问题三： 以y=x2+1在 (0，+)上单调性为例，如何用精确的数学语言来描述函数的单调性？,六、教学过程设计,函数的单调性,实现,图形语言,文字语言,符号语言,随着？,增大？,任取？,六、教学过程设计,函数的单调性,1、函数单调性定义,定义内容,六、教

5、学过程设计,进一步提问：,如何判断 f(x1)f(x2),得到求差法后提出记:x= x2-x1y= f(x2)-f(x1)= y2-y1,六、教学过程设计,初步探索 概念形成,概念深化 延伸拓展,点此播放讲课视频,六、教学过程设计,问题四：能否说f(x)= 在它的定义域上是减函数？,学生提出反例，得到结论,进一步提问： 函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数， 何时函数在AB上也是增 （减）函数,六、教学过程设计,o,x,y,O,x,y,O,何时满足任意性 回归定义,六、教学过程设计,初步探索 概念形成,概念深化 延伸拓展,证法探究 应用定义,六、教学过程设计,例1：证明函数在（0，

6、+ ）上是增函数,六、教学过程设计,函数的单调性,1、函数单调性定义,定义内容,2、函数单调性证明,例1：,证明过程,断号,设元,变形,作差,定论,六、教学过程设计,例2：判断函数 在（0，+）上的单调性,进一步提问： 如果把（0，+）条件去掉，如何解这道题？ （作业）,课标中指出“形式化是数学的基本特征之一，但不能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真”因此本题不再从证明角度，而是让学生再次从定义出发，寻求方法，并体会转化思想。,六、教学过程设计,初步探索 概念形成,概念深化 延伸拓展,证法探究 应用定义,小结评价 作业创新,六、教学过程设计,回顾函数单调性定义的探究过程；证明、判断函数单

7、调性的方法步骤；数学思想方法,六、教学过程设计,结束语,通过本节课的学习预计学生能够理解单调性的含义，绝大多数学生能按照单调性的证明步骤进行证明，能判断函数的单调性。本节课最后设计了课堂反馈并结合教师评价和学生自评来评价本节课的学习效果。,结束语,在情境设置中，严格按照课标要求，以二次函数y=x2+1为例，经历画图、描述图象、找单调区间、形成单调性定义、证明其单调性的过程，将学生对单调性的认识从感性上升到理性，并将定义进行应用。,一、函数的单调性,o,o,a,b,a,b,从导数的几何意义考察函数的单调性：,3. 函数的升降、凸性与极值,Th. 1 （导数的正负与函数升降的关系）,证明：由极限保

8、号性、中值定理可证.,Corollary（严格单调的充分条件）若f (x)在a,b连 续，在(a,b)可导，且 不变号，则,注1. Th.1 表明，讨论可导函数的单调性，只须判别其导数的符号即可，其步骤是: 确定 的定义域； 求 ，令 求出分界点； 用分界点将定义域分成若干个开区间； 判别 在每个开区间内的符号，即可确定 的严格单调性（严格单调区间）.,例1. 讨论 的上升、下降情况.,解：该函数的定义域是 R. 由,它们将 R 分成三个区间：,例2.,解：定义域是 R. 由,现列表讨论如下：,Th. 2 （不等式定理）若 f (x) 与 g(x) 满足条件：,(1) 在a,b上可导;,注2.

9、 利用函数的升降性及其导数之间的关系来证明不等式,y,x,M,o,a,x,b,Th. 2 若F(x)满足,证明：,例3. 证明,证明：,从而得证.,例4.,证明：,例5. 证明方程,证明：,二、函数的极大值与极小值,1. Def（局部极值）,o,a,b,x,y,注3. 函数的极值的局部性. 定义中可以有,结论,o,x,y,y=2x,y=x,Th.3 （极值的必要条件）,由此求出可能使 f (x) 取极值的点之后，如何判定 它是取极大值还是极小值呢？,图示可见, 由导数符号可判定极大极小值点.,Th. 4 （极值判别法之一）,证明：由函数的升降性及极值定义得到.,列表如下：,注4.,Th.5 （

10、极值判别法之二）,证明：由二阶导数定义及极限保号性、Th4得证.,Th. 5,(1),(2),定理5是定理5的特殊情形.,证明：根据Taylor公式, 有,例6.,解：,现列表讨论如下：,例7.,解：,例8.,解：,三、函数的最大值和最小值,如何求出函数在某区间上的最大值和最小值？,y,x,a,O,b,注1： 函数在某一区间上的最大值和最小值, 也叫全局极值.,可导函数在a,b上的最大、最小值的求解步骤：,注2：,例9.,解：,所以函数的最大值是0, 最小值是2.,例10. 某生产队要建造一个体积为 50 立方米的有盖圆柱形氨水池. 问这个氨水池的高和底半径取多大时，用料最省？,解：用料最省就

11、是要求氨水池的表面积最小. 设氨水池的底半径是 r, 高是 h, 它的表面积,h,r,O,用V50立方米代入，得到,答：当圆柱形氨水池的高和直径相等时，用料最省。,四、函数的凸性,是描述函数性状的一个更深入的概念.,例如：,上凸,下凸,几何角度：,1. Def（函数的凸性）,注：函数的凹凸性，下凸即是上凹.,2. 函数的凸性与其导数的关系,Th. 6,证明：,由Lagrange公式，得：,In fact,其中，,由得 上凸，故 下凸.,Def: 若曲线 在其上一点 的 一侧为上凸，另一侧为下凸，则称此点为曲线的拐点.,x,y,o,y =f (x),注：,y,x,o, 求 ； 令 ，求解，并划分

12、f (x)的定义域为若干个开区间. 判别 在每个开区间的符号. 设 ,列表讨论如下：,3. 讨论 f (x) 的凸性及拐点的步骤,注：对 不存在的点亦可类似讨论.,例1. 讨论 的凸性及拐点.,解：,x,y,o,1,例2.,解：其定义域是 R. 由,x,y,o,1,1,-1,-1,又,列表如下：,统一列表如下:,4. 曲线的渐近线,x,y,o,双曲线,的渐近线,如何求之？,曲线的渐近线有两种：垂直渐近线；斜渐近线（包括水平渐近线）,y,x,o,P,K,M,Def: 当曲线 C 上动点 M 沿着曲线 C 无限远移时，若动点 M 到 某直线 l 的距离无限趋于零，则称直线 l 是曲线 C 的渐近线

13、.,(1)垂直渐近线,例如：, 斜渐近线,如何求出渐近线 呢？,因 是常数，故,Prop: 直线 是曲线 的斜渐近线a与b 由与式分别确定.,因此得,从而,由得,特别，当 a = 0 时，就是水平渐近线. 即：,直线 是水平渐近线,例3.,解：由于,故 x = 1 为 f (x) 的垂直渐近线.,又,故,故 是渐近线.,例4. 求双曲线 的渐近线.,解：,因函数在,例5. ,利用函数特性描绘函数图形, 一般步骤：,5. 函数的图形,(1) 确定函数 的定义域, 讨论函数的奇偶性、对称性、周期性等性态;,(2) 求出使 不存在的点,把函数的定义域划分成几个部分区间;,(3) 根据 的符号, 确定函数的上升或下降区间, 图形的上凸或下凸区间, 以及极值和拐点; 可列表讨论;,(4) 确定函数图形的水平、垂直渐近线、斜渐近线;,(5) 描点作图. 描出极值点、拐点, 曲线与坐标轴的交点.,例12.,解：,(3) 列表讨论如下：,表1. 函数的上升、下降和极值.,表2. 函数的上凸、下凸和拐点.,表3. 统一列表,(5) 曲线与坐标轴的交点为 (1,0) . 作图如下：,Matlab程序,例13.,解：,（3）列表讨论如下：,上 凸,下 凸,无 定 义,又因为,(5) 曲线与坐标轴交于原点, 作图如下：,Matlab程序,注意最值与极值的区别.,