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1、1首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答（数学类 2009）注意：1 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其他纸上一律无效。 2 密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记。一（15 分）求经过三平行直线，zyxL:111:2zyxL的圆柱面的方程。11:3zyxL解：解：先求圆柱面的轴的方程，由已知条件易知，圆柱面母线的方向是，0L) 1 , 1 , 1 (n且圆柱面经过点，过点且垂直于的平面的方程为)0 , 0 , 0(O)0 , 0 , 0(O) 1 , 1 , 1 (n。（30zyx分）与三已知直线的交点分别为，（5 分）)0 , 0 , 0
2、(O) 1, 0 , 1 (P) 1 , 1, 0( Q圆柱面的轴是到这三点等距离的点的轨迹，即0L222222222222) 1() 1() 1() 1(zyxzyxzyxzyx即（9 分） 11zyzx将的方程改为标准方程0Lzyx11圆柱面的半径即为平行直线和之间的距离，为上zyxzyx11)0 , 1, 1 (0P0L的点，（12 分）对圆柱面上任意一点，有，即),(zyxS |00 nOPnnSPn6)2() 1() 1(222yxzxzy2所以，所求圆柱面的方程（15 分）063222yxyzxzxyzyx二（20 分）设是复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的线性空间，nnC
3、nnC121100010001000aaaaFnnn（1）假设，若，证明：nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211FAAF EaFaFaFaAn nn n11212 111 1 （2）求的子空间的维数。nnC|)(XFFXCXFCnn（1）证证：记，。),(21nAEaFaFaFaMn nn n11212 111 1 要证明，只需证明与的各个列向量对应相等即可，若以记第 个基本单位AM AMiei列向量，于是只需证明：对每个 ，。（2i)(iiiAeMe分）若记，则，注意到，T nn),(11),(32neeeF（*）（6 分）nnnneFeeFFeFeFeeFeFe 112
4、11 3212 21)(,由（10 分）11111221111111112112 1111 1111212 111 11)(AeeaeaeaeaEeaeFaeFaeFaeEaFaFaFaMennnnn nn nn nn n 知 ，211112AeAFeFAeFMeMFeMe3312 12 12 12 3AeeAFAeFMeFeMFMe311 11 11 11AeeAFAeFMeFeMFMennnn n所以。（14 分）AM （2）解解：由（1） ， （16 分）,)(12nFFFEspanFC设，等式两边同右乘，利用（*）得：OFxFxFxExn n 1 12 2101e11 12 2101)
5、(eFxFxFxExOen n nnn n exexexexeFxeFxFexEex132211011 112 21110 因线性无关，故，（19 分）neeee,32101210nxxxx所以线性无关，因此是的基，特别地，12,nFFFE12,nFFFE)(FC。（20 分）nFC)(dim三（15 分）假设是复数域上维线性空间，是上的线性变换，如果VCn)0( ngf ,V，证明：的特征值都是 0，且有公共特征向量。fgffgfgf ,证明：假设是的特征值，是相应的特征子空间，即0fW，于是在下是不变的。)(|0fVWWf（1 分）下面先证明，任取非零，记为使得线性相00Wm)(),(),
6、(,2mggg关的最小的非负整数，于是当时，线性无关。10mi)(),(),(,2iggg（2 分）时令，其中，因此10mi)(),(),(,2i igggspanW0W，并且。显然，特别地，)1 (dimmiiWi21mmmWWW1)(iiWWg4在下是不变的。（4mWg分）下面证明：在下也是不变的，事实上，由知mWf0)(f（5 分）00)()()()(gfgffg（6 分）002 000002)(2)()()()()()(gggggfggfgfg根据)()()()()(1111kkkkkfgfggfggfgfg用归纳法不难证明，一定可以表示成的线性组合，且表)(kfg)(),(),(,2
7、kggg示式中前的系数为，（8)(kg0分）因此在下是不变的，在上的限制在基下的矩阵mWffmW)(),(),(,12mggg是上三角阵，且对角线元素都是，因而这一限制的迹为（1000m分）由于在上仍然成立，而的迹一定为零，故，即fgffgmWgffg 00m。（12 分）00任取，由于，所以W)()()()()(,)(fgfgffgf。因此在下是不变的，从而，在中存在的特征向量。这也是的Wg)(WgWggf ,公共特征向量。（15 分）四（10 分）设是定义在上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在)(xfn,ba上满足,baMxfn | )(|（1）证明在上一致收敛；)(xfn,ba（2）
8、设，问是否一定在上处处可导，为什么？)(lim)(xfxfnn)(xf,ba5证明：（1） ，将区间等分，分点为，0,baKKjKabjaxj, 2 , 1 , 0,)(使得，由于在有限个点上收敛，因此， Kab)(xfnKjxj, 2 , 1 , 0,使得对每个成立。（3 分）NnmN ,| )()(|jnjmxfxfKj, 2 , 1 , 0于是,设，则,bax,1jjxxx) 12(| )(| )()(| )(| )()(| )()(| )()(| )()(|Mxxfxfxfxxfxfxfxfxfxfxfxfxfjnjnjmjmnjnjnjmjmmnm（5 分）（2）不一定， （6 分）
9、令，则在上不能保证处处可导。nxxfn1)(2|)(lim)(xxfxfnn ,ba（10 分）五（10 分）设，证明发散。2 03|sinsin| dttnttan11nna解：（3 分）23032 03|sinsin|sinsin|sinsin|nn ndttnttdttnttdttntta（5 分）ndttntt03|sinsin|ndttn03 2|22023ntnn （7 分）23 23231 8)2(|sinsin|nnntddtttdttntt（8 分）8)2(823nn ，而发散，结论得证。（10 分）nan211 121nn6六（15 分）是上二次连续可微函数，满足，),(y
10、x1| ),(22 yxyx22 2222 yxyf xf计算积分。dxdyyfyxy xfyxxI yx 1222222解：采用极坐标，则sin,cosryrx（6 分） 222)(sincos102010ryxdxyfdyxfdrrdyf xfdrI（10 分）222222)()(2210222210ryxryxdxdyyxdrdxdyyf xfdr（15 分）168sincos20220510dddrr七（15 分）假设函数在上连续，在内二阶可导，过点与点)(xf 1 , 0) 1 , 0()0(, 0(fA的直线与曲线相交于点，其中，证明：在)1 (, 1 (fB)(xfy )(,(cfcC10 c内至少存在一点，使。) 1 , 0(0)(“f证明：因为在上满足 Lagrange 中值定理的条件，故存在，使)(xf, 0c), 0(1c。（40)0()()(1 cfcff分）由于在弦上，故有)(,(cfcCAB（7 分）)0() 1 (01)0() 1 ( 0)0()(ffff cfcf从而（8 分）)0() 1 ()(1fff同理可证，存在，使（11) 1 ,(2c)0() 1 ()(2fff7分）由知在上满足 Rolle 定理的条件，所以存在使)()(2 1ff,21)(xf),(21。（15 分）0)(“f
