维数趋于无穷大时单位球的表面积与体积

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1、1维数趋于无穷大时单位球的表面积与体积维数趋于无穷大时单位球的表面积与体积下面列一个表格：维维 数数单位球的表面积单位球的表面积单位球的体积单位球的体积维维 数数单位球的表面积单位球的表面积单位球的体积单位球的体积221213423 213 3423 21 422 22142212253825 23 21522 15825 23 2122 63332166321337151627 25 23 21733 1051627 25 23 2133 8343218442443214491053229 23 21944 9453229 23 2144 10125211055 12052155 11945

2、64211 23 211155 1039564211 23 2155 12606211266 72062166 1310395128213 23 211366 135135128213 23 2166 从上面表格可以看出： （1）当维数）当维数 是偶数时，是偶数时， 维单位球的表面积为维单位球的表面积为nn。2221222221) 12(22 nnnn nnSnnn 2212nkk当 时，有 ，所以2k21k，nS2212nkk2212212nkkkk 212222212212)21(212knnkkkk当 时，有n2。nnS 0lim 02)21(lim21222 knnk（2）当维数）当维

3、数 是偶数时，是偶数时， 维单位球的体积为维单位球的体积为nn。22221 22221) 12(22nnnnnVnnn 21nkk当 时，有 ，所以2k21k，nV 21nkk 21221nkkkk 212221221)21(21knnkkkk当 时，有n。nnV 0lim 0)21(lim2122 knnk（3）当维数）当维数 是奇数时，是奇数时， 维单位球的表面积为维单位球的表面积为nn。22 32 122222 23 21) 12(21 2 nnnn nnSnnn 2111222nkk当 时，有 ，即 ，所以214k412k21 122knS2111222nkk2112142141122

4、 1222nkkkk ，21412142121121421412)21(21 1222 knnkkkk当 时，有n。nnS 0lim 02)21(lim214121421 knnk（4）当维数）当维数 是奇数时，是奇数时， 维单位球的体积为维单位球的体积为nn。nnnnnVnnn 2 22 32 121222 23 21) 12(21 2 2111221nkk 当 时，有 ，即 ，所以214k412k21 122k3nV2111221nkk 2112142141122 1221nkkkk ，21412142121121421411)21(21 1221 knnkkkk当 时，有n。nnV 0lim 01)21(lim214121421 knnk由此可见，当维数趋于无穷大时，单位球的表面积和体积都趋于当维数趋于无穷大时，单位球的表面积和体积都趋于 0 。