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1、2018年9月12日,1,模糊数学绪论,用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律 性靠经典数学去刻画； 2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律 性靠概率统计去刻画;3.模糊现象：如 “今天天气很热”，“小伙子很高”，等等。此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。,2018年9月12日,2,年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。,共同特点：模糊概念的外延不清楚。,模糊概念导致模糊现象,模糊数学研究和揭示模糊现象的定量处理方法。,模糊数学绪论
2、,2018年9月12日,3,产生,1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 ),基本思想,用属于程度代替属于或不属于。,某个人属于高个子的程度为0.8, 另一个人属于,高个子的程度为0.3等.,模糊数学绪论,2018年9月12日,4,模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支,涉及学科,分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；,模糊产品,洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯,人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、
3、信息、经济、文学、音乐,模糊数学绪论,2018年9月12日,5,模糊数学绪论,课堂主要内容,一、基本概念,二、主要应用,1. 模糊聚类分析对所研究的事物按一定标准进行分类,模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵,例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以及有机质含量，PH值，颜色，厚薄等不同的性状，对土壤进行分类。,2018年9月12日,6,2.模糊模式识别已知某类事物的若干标准模型，给出一个具体的对象，确定把它归于哪 一类模型。,模糊数学绪论,例如：苹果分级问题 苹果，有I级，II级，III级，IV级四个等级。 现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。,2018年9月12日,7,3.模糊综合评判
4、从某一事物的多个方面进行综合评价,模糊数学绪论,例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价 从清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰四方面 给出很好，较好，一般，不好四层次的评价 最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。,4.模糊线性规划将线性规划的约束条件或目标函数模糊化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优解称为原问题的模糊最优解,2018年9月12日,8,模糊数学,2018年9月12日,9,一、经典集合与特征函数,论域U中的每个对象u称为U的元素。,模糊集合及其运算,2018年9月12日,10,. u,A,A,. u,模糊集合及其运算,2018年9月12日,11,其中,函数
5、 称为集合A的特征函数。,模糊集合及其运算,非此即彼,2018年9月12日,12,模糊集合及其运算,亦此亦彼,U,A,模糊集合 ,元素 x,若 x 位于 A 的内部， 则用1来记录， 若 x 位于 A 的外部， 则用0来记录， 若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部，,则用,x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。,2018年9月12日,13, 0, 1 , 0, 1 ,特征函数,隶属函数,二、模糊子集,2018年9月12日,14,模糊集合及其运算,越接近于0,表示 x 隶属于A 的程度越小；,越接近于1,表示 x 隶属于A 的程度越大；,0.5,最具有模糊性
6、，过渡点,2018年9月12日,15,模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：,（1）Zadeh表示法,这里 表示 对模糊集A的隶属度是 。,如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为,可省略,模糊集合及其运算,2018年9月12日,16,表示方法1的说明,不是分式求和，只是一个符号 “分母”是论域X的元素 “分子”是相应元素的隶属度 当隶属度为0时，该项可以不写入,2018年9月12日,17,（3）向量表示法,（2）序偶表示法,若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：,模糊集合及其运算,2018年9月12日,18,例1. 有100名消费者，对5种商品 评价，,结果为：,81人认为x1 质
7、量好，53人认为x2 质量好，,所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人认为x5 质量好,则模糊集A（质量好）,2018年9月12日,19,例2：考虑年龄集U=0,100，O=“年老”，O也是一个年龄集，u = 20 O，40 呢？札德给出了 “年老” 集函数刻画:,1,0,U,50,100,2018年9月12日,20,再如，Y= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：,1,0,25,50,U,B（u）,2018年9月12日,21,则模糊集O（年老）,模糊集Y（年轻）,2018年9月12日,22,2、模糊集的运算,定义：设A，
8、B是论域U的两个模糊子集，定义,相等：,包含：,并：,交：,余：,模糊集合及其运算,2018年9月12日,23,例3.,模糊集合及其运算,则：,0.3,0.9,1,0.8,0.6,0.2,0.1,0.8,0.3,0.5,2018年9月12日,24,模糊集合及其运算,并交余计算的性质,1. 幂等律,2. 交换律,3. 结合律,4. 吸收律,2018年9月12日,25,模糊集合及其运算,6. 0-1律,7. 还原律,8. 对偶律,5. 分配律,2018年9月12日,26,几个常用的算子：,（1）Zadeh算子,（2）取大、乘积算子,（3）环和、乘积算子,模糊集合及其运算,2018年9月12日,27
9、,（4）有界和、取小算子,（5）有界和、乘积算子,（6）Einstain算子,模糊集合及其运算,2018年9月12日,28,三、隶属函数的确定,1、模糊统计法,模糊统计试验的四个要素：,模糊集合及其运算,2018年9月12日,29,特点：在各次试验中， 是固定的，而 在随机变动。,模糊统计试验过程：,（1）做n次试验，计算出,模糊集合及其运算,2018年9月12日,30,模糊集合及其运算,对129人进行调查, 让他们给出“青年人”的年龄区间，,问年龄 27属于模糊集A（青年人）的隶属度。,2018年9月12日,31,对年龄27作出如下的统计处理：,A(27) = 0.78,(变动的圈是否盖住不
10、动的点),2018年9月12日,32,2、指派方法,模糊集合及其运算,一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，中间型。,例如：在论域 中，确定A=“靠近5的数”的隶属函数,中间型,2018年9月12日,33,模糊集合及其运算,可以选取柯西分布中间类型的隶属函数,先确定一个简单的，比如,此时有,不太合理，故改变,2018年9月12日,34,模糊集合及其运算,取,此时有,有所改善。,2018年9月12日,35,3、其它方法,模糊集合及其运算,2018年9月12日,36,模糊集合及其运算,四、模糊矩阵,例如：,2018年9月12日,37,（1）模糊矩阵间的关系及运算,定义：设 都是模糊矩阵，定义
11、,相等：,包含：,模糊集合及其运算,并：,交：,余：,2018年9月12日,38,例4：,模糊集合及其运算,2018年9月12日,39,（2）模糊矩阵的合成,定义：设 称模糊矩阵,为A与B的合成，其中 。,模糊集合及其运算,即：,定义：,设A为 阶，则模糊方阵的幂定义为,2018年9月12日,40,例5：,模糊集合及其运算,2018年9月12日,41,（3）模糊矩阵的转置,模糊集合及其运算,性质：,2018年9月12日,42,（4）模糊矩阵的 截矩阵,显然，截矩阵为Boole矩阵。,模糊集合及其运算,2018年9月12日,43,例6：,模糊集合及其运算,2018年9月12日,44,截矩阵的性质
12、：,性质1.,性质2.,性质3.,性质4.,模糊集合及其运算,2018年9月12日,45,（5）特殊的模糊矩阵,定义：若模糊方阵满足,则称A为自反矩阵。,例如,是模糊自反矩阵。,定义：若模糊方阵满足,则称A为对称矩阵。,例如,是模糊对称矩阵。,模糊集合及其运算,2018年9月12日,46,模糊集合及其运算,定义：若模糊方阵满足,则称A为模糊传递矩阵。,例如,是模糊传递矩阵。,2018年9月12日,47,模糊集合及其运算,定义：若模糊方阵Q，S，A满足,则称 S 为 A 的传递闭包，记为 t (A)。,2018年9月12日,48,模糊聚类分析,一、基本概念及定理,2018年9月12日,49,模糊
13、聚类分析,定理：,R是n阶模糊等价矩阵,是等,价的Boole矩阵。,意义：将模糊等价矩阵转化为等价的Boole矩阵， 可以得到有限论域上的普通等价关系，而等价关系是可以分类的。因此，当在0,1上变动时，由 得到不同的分类。,2018年9月12日,50,模糊聚类分析,2018年9月12日,51,例6：设 对于模糊等价矩阵,模糊聚类分析,2018年9月12日,52,模糊聚类分析,画出动态聚类图如下：,0.8,0.6,0.5,0.4,1,2018年9月12日,53,模糊聚类分析,2018年9月12日,54,例7：设有模糊相似矩阵,模糊聚类分析,2018年9月12日,55,二、模糊聚类的一般步骤,、建
14、立数据矩阵,模糊聚类分析,2018年9月12日,56,（1）标准差标准化,模糊聚类分析,2018年9月12日,57,（2）极差正规化,（3）极差标准化,模糊聚类分析,2018年9月12日,58,、建立模糊相似矩阵（标定）,（1）相似系数法,夹角余弦法,相关系数法,模糊聚类分析,2018年9月12日,59,（2）距离法,Hamming距离,Euclid距离,Chebyshev距离,模糊聚类分析,2018年9月12日,60,（3）贴近度法,最大最小法,算术平均最小法,几何平均最小法,模糊聚类分析,2018年9月12日,61,3、聚类并画出动态聚类图,（1）模糊传递闭包法,步骤：,模糊聚类分析,（2
15、）boole矩阵法（略）,2018年9月12日,62,（3）直接聚类法,模糊聚类分析,当不同相似类出现公共元素时，将公共元素所在类合并。,将对应于 的等价分类中 所在类与 所在类合并，所有情况合并后得到相应于 的等价分类。, 依次类推，直到合并到U成为一类为止。,（4）最大树法,（5）编网法,2018年9月12日,63,模糊聚类分析,2018年9月12日,64,解：,由题设知特性指标矩阵为,采用最大值规格化法将数据规格化为,模糊聚类分析,2018年9月12日,65,用最大最小法构造 模糊相似矩阵得到,模糊聚类分析,2018年9月12日,66,用平方法合 成传递闭包,2018年9月12日,67,取 ，得,模糊聚类分析,2018年9月12日,68,取 ，得,取 ，得,模糊聚类分析,2018年9月12日,69,取 ，得,取 ，得,模糊聚类分析,2018年9月12日,70,画出动态聚类图如下：,模糊聚类分析,2018年9月12日,
