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1、朱明亮 05200200721弹簧振子模型的三维参数化仿真弹簧振子模型的三维参数化仿真1、弹簧参数化三维模型的建立弹簧参数化三维模型的建立本文采用离散化思想，把弹簧得表面离散成一系列的多边形，当划分足够细致时， 近似精度就非常高。最后本文用 OpenGL 实现了弹簧的参数化三维模型。 1.1 弹簧的主要几何参数弹簧的主要几何参数 本文考虑了表征弹簧外形的几个主要几何参数，根据这些几何尺寸计算出各个多边 形的顶点，然后再画出。设置光照时，应给出弹簧上各点的法向量。每个弹簧片段 （一个周期）主要的几何参数为：弹簧的高度（H） ，每圈弹簧的半径（R） ，弹簧丝的 半径（r） ，每两个周期弹簧的间距（
2、螺距） （h） 。如图 1 所示：图 1. 弹簧关键参数弹簧的轴线符合螺线方程，因此模型建立过程中参考了螺线模型螺线方程为：。cos sinxa ya zvt 每个周期的弹簧片段的外形由三个独立变量 R、r、h 控制。 1.2模型片段顶点计算模型片段顶点计算 模型划分方法：沿每圈弹簧的投影圆划分为 n 等分，沿弹簧丝的截面圆划分为 m等分。分别用变量、表示沿两个圆逆时针方向的角度变化（变化范围 0） ，2这样弹簧表面上的点的 x, y 坐标就可以由、R、r 四个量确定，z 坐标增量由 h 确定。使、在 0内变化，用表示的平均增量（） ，用表22 /n示的平均增量（） ，用表示 z 坐标增量速率
3、（高度相对角度的变化率，2 /mv） ；以底面投影圆的圆心为原点，向右为 x 正向，向上为 y 正向，z 正向垂直/2vh 屏幕向外。则弹簧上任一点的坐标为： 朱明亮 05200200722（其中 i, j 分别为角,的循环变量）(cos( *)*cos( *)sin( *)*(cos( *)*sin( *)xRrjiyrjivzRrji 。该点的法向量为：cos( *)*cos( *),sin( *), sin( *)*cos( *)ijjij计算简图如图 2 示：图 2. 求弹簧上点的计算简图 1.31.3 模型精度模型精度 模型的精度与划分精细程度直接有关，即 m, n 越大，模型的近似
4、程度越高。如下 面几幅图所示，不同 m, n 值下的模型。从这些图中可以看出，当划分精度 m20, n20 时便可以达到很好的效果（上面的图 1 中 m=20, n=20） 。当 m=n=50 和 m=n=100 时几乎 看不出什么差别了。图 3. m=n=6 图 4. m=6,n=8朱明亮 05200200723图 5. m=n=50图 6. m=n=1002、弹簧振子的参数化模型弹簧振子的参数化模型2.1 弹簧振子模型参数弹簧振子模型参数为简化运动模型，视其运动为简谐振动。本文通过对模型的受力分析，用微分法 得到小球每个时刻的运动位置及弹簧运动变形。主要参数为：弹簧的高度（H） ，弹簧 的
5、投影圆的半径（R） ，周期数（n）,弹簧的刚度系数（K） ，小球的质量（m） 。如图 7 所示。图 7. 弹簧振子模型弹簧振子的运动参数：加速度 ，速度，离开平衡位置的位移，以上的物理量都avs是矢量，还有时间参数 ，时间变化量。这些物理量之间的关系为（从程序代码的tt角度考虑的公式）：*taK *tvva*tssv用这些公式就可以计算出每个时刻的小球离开平衡位置的距离。 2.2 弹簧振子运动时弹簧的变形弹簧振子运动时弹簧的变形弹簧在运动过程中其参数 H, R 都是变化的，下面予以考虑。由于 H 的变化是由小球的运动产生，所以每个时刻弹簧高度 H 可以表示为：（其中为弹簧在0HsL0L平衡位置
6、时的长度） 。而每个时刻的 R 可以根据 H 求出，由于弹簧变形不是很剧烈，可朱明亮 05200200724以认为弹簧丝的长度不变，其长度为，如果弹簧为 n 个周期，则弹簧的投影圆的周TS长之和为，则，且这些长度间有如下关系：，则可TL2 *TLR n22 TTSLH以得出：，长度关系如图 8 所示：22224*TSHRn图 8. 弹簧几个长度间的关系3、结论结论本文讨论了弹簧振子的参数化三维模型的建立，本文提供的方法细化了弹簧振 子模型的控制参数，通过改变弹簧的几何参数就可以控制它的外形，通过改变弹簧 的力学参数及小球的力学参数可以控制弹簧振子的运动状态，具有很大的灵活性。 另外本文基于 OpenGL 的程序实现通过加入光照和材质，获得了良好的视觉效果， 从而使仿真效果更加真实。本文还有不足，没有考虑阻尼，只考虑了比较理想的简 谐振动；而且弹簧模型只考虑了整周期，还不能生成半周期的弹簧。
