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1、7.5 一般线性方程组一般线性方程组课题：课题： 一般线性方程组 目的要求：目的要求：1掌握矩阵秩概念 掌握线性方程组解判定方法； 掌握齐次线性方程组的解法。 重点：重点： 线性方程组解判定方法 难点：难点： 线性方程组的消元法 教学方法：教学方法： 讲练结合 教学时数：教学时数： 4 课时 教学进程：教学进程：一、矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的重要特性之一，它在线性方程组解的讨论中起着关键的作用 定义定义：矩阵 A 的阶梯形矩阵所含非零行的行数称为矩阵 A 的秩，记为 r（A） 根据这个定义，可以得出求矩阵 A 的秩的一般步骤： 1 用矩阵的初等行变换把 A 化为阶梯形矩阵； 2 数一下阶梯形矩阵
2、中有多少个非零行例例 1 求矩阵的秩 2855231131432111221A解解 6110305502550011221)(2)()(3)()()(2855231131432111221141312rrrrrrA255000000611011221)(5)(2550030550611011221)()(2324rrrr000025500611011221)()(43rr所以 r（A）=3例例 2 求矩阵的秩 231453312112231B解解 460240770550231)()()(3)()(2)()(2)(23145331211223115141312rrrrrrrrB00000020
3、0110231)()()()(200200000110231)(6)()(4)()(7)(460240770110231)(5143452524232rrrrrrrrrrr所以 r（B）=3二、 一般线性方程组的解一般的线性方程组，它的未知数个数与方程的个数可以相等也可以不相等对于 n 个 未知数 n 个方程的线性方程组，当它的系数行列式不为零时，可以有以下三种求解方法： 克莱姆法则；逆矩阵；矩阵法其中矩阵法还能用来求解未知数个数与方程个数不 相等的线性方程组本节将运用矩阵法来讨论一般的线性方程组的解先考察先面的两个 例子例例 3 讨论线性方程组的解 052423232432143214321
4、xxxxxxxxxxxx解解 228402284021321)()()(3)(0152141123213211312 rrrrA 0000021 2121021321)(41000002284021321)()(223rrr 0000021 2121010101 )(2)(21rr最后一个矩阵对应于方程组：，因此有13234111222xxxxx13234111222xxxxx 由于当 x3和 x4分别任意取定一个值时，都可得到方程组的一组解，因此该方程组有无 穷多组解例例 4 讨论方程组的解 104834822263531324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解
5、解 60450604503045011321)(4)()(2)()(3)(104834822126351311321141312rrrrrrA 0000030000530541011321 )(5100000300003045011321)()()()(2 3334rrrrr0000030000530541051115701)(2)(21rr最后一个矩阵对应于方程组：，其中第三个方程 0=3 是不3053 54511 5732431xxxxx可能成立的因而方程组无解 从以上两个例子最后得到的两个矩阵和来看，它们的左上角都是一个单位矩阵， 以下各行中除去最后一列可能有非零元素（如矩阵）外，其余元
6、素均为零 一个含有 n 个未知数的 m 个方程的线性方程组 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLLLLLLLLLLLLLLL22112222212111212111它的增广矩阵一般经过适当的行初等变换，它的左上mmnmmnnbaaabaaabaaaALLLLLLLL21222221111211 角会出现一个 r 阶的单位矩阵（rn） ，而在以下（m-r）各行，除去最后一列可能有非零元素外，其余的元素均为零即增广矩阵经过行初等变换后可化成以下形式，其中Arn：000000000001000100011122121111LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
7、Lrrrnrrnrnrccaacaacaa为说明方便起见，先介绍方程组的相容性的概念 定义定义 若方程组有解，则称方程组是相容的；若方程组无解，则称方程组是 不相容的 下面分别按矩阵出现的各种不同情形来讨论对应的线性方程组的解 1 若 cr+1=0，则线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等，并且都等于 r（rn） ，则线性方程组是相容的当 rn 时方程组有无穷多组解，当 r=n 时 方程组只有唯一解2 若 cr+10，这时线性方程组的系数矩阵的秩为 r，而增广矩阵的秩为 r+1所 以这个线性方程组相应地化为 1112211221111110rrnrnrrrrnnrrnnrrccxaxaxcxa
8、xaxcxaxaxLLLLLLLLLLLLLLL因为 cr+10，所以上述方程组中最后一个方程不能成立，即方程组是不相容的 归纳上述讨论，得到如下两个定理： 定理定理 1 线性方程组相容的充分必要条件是它的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相 等 定理定理 2 线性方程组是相容的，则当系数矩阵的秩 r n 时，方程组有无穷多组解； 当系数矩阵的秩 r=n 时，方程组的解是唯一的例例 5 判别方程组的相容性 831234321332321321321321xxxxxxxxxxxx解解 因为216304011702271013321)()()(3)()(2)(83111213413213321141312
9、rrrrrrA310031002271013321 )(151)(381)(45150011438002271013321)(3)()(7)(4322423rrrrrrr000031002271013321)(3)(34rr所以 R（A）=R（）=3，即方程组是相容的A例例 6 当 a 取什么值时，方程组有解，并求出它的解 362323143243214321xxxaxxxxxxxx解解 因为 362103621011111)(3)(3621031231111112arraA arrarr00003621011111)()(362103621011111)()(2332 arr00003621
10、025101)()(21所以当 a0 时，R（A）=2，R（）=3，方程组无解；当 a=0 时，R（A）A=R（）=2，方程组有解这时，对应的方程组为，即A 36225432431 xxxxxx，其中 x3与 x4的值可以任取，令 x3=c1，x4=c2，则方程组的解为 432431 62352xxxxxx，其中 c1与 c2为任意常数 2413432431 62352cxcxxxxxxx三、 齐次线性方程组在线性方程组中，若 b1=b2=bm=0，则方程组称为齐次线性方程组在齐次线性方程组 000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaLLL
11、LLLLLLLLLLLL中，显然它的增广矩阵的秩与系数矩阵的秩是相等的因此根据定理 1 可知，齐次线性方 程组总是有解的根据定理 2，可以得到以下定理： 定理定理 3 设齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩 R（A）=r 若 r=n，则方程组只有零解； 若 rn，则方程组有无穷多组非零解 对于 n 个未知数，n 个方程的齐次线性方程组，还可由定理 3 推得以下的定理：定理定理 4 齐次线性方程组 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaLLLLLLLLLLLLLLL有非零解的充分必要条件是它的系数行列式0A例例 7 解方程组 0833033
12、20323zyxzyxzyx解解 计算系数行列式： 022 833332323 D所以方程组只有唯一的一组零解，即 x=y=z=0例例 8 解方程组 032803820zyxzyxzyx解解 计算系数行列式： 0 328382111 D所以方程组有无穷多组解为此写出它的增广矩阵，并作行初等变换如下： 000003820111)()(6)(032803820111213rrrA 0000021100111)(1010000051000111)(2)(2 12rrr00000211002101)()(21rr这时，对应的方程组为设 z=c，则方程组的解为 021021zyzx1 2 1 2xcyczc 小结本讲内容：小结本讲内容：
