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1、The representation for the states and dynamical variable,Chapter.4 态和力学量的表象,引言,按量子力学基本原理，体系的状态用波函数描述，力学量用线性厄米算符表示。前面所使用的波函数及力学量算符是以坐标这个力学量算符的本征值为变量写出它们的具体形式的。是否还可以选择其它力学量算符的本征值作为变量而写出波函数及力学量算符的具体形式呢？回答是肯定的。,量子力学中波函数和力学量算符的描述方式不是唯一的,引言,这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。,量子力学中态
2、和力学量的具体表示方式称为表象,矩阵力学,主要数学工具,矩 阵,数学中，描述矢量 位置 坐标,直角坐标（x，y，z）,球坐标（ ）,柱坐标（ ）,量子物理中，描述粒子波状态 波函数,坐标表象：,动量表象：,能量表象：,4.1 态的表象The representation of the state 4.2 算符的矩阵表示 Matrix representation of operators 4.3 量子力学公式的矩阵表示 Matrix representation of formula for quantum mechanism 4.5 狄喇克符号 Dirac symbols4.4 幺正变换Un
3、itary transformation 4.6 线形谐振子与占有数表象Linear oscillator and occupation numberrepresentation,一、态的动量表象,4.1 态的表象,动量算符本征函数：,组成 完备系,展开系数,构成付里叶变换与逆变换,从数学上讲，知道其一, 必可唯一地求出另一。,从物理角度看， 描述粒子状态，那么 也可用于描述粒子同一状态。,任一状态 可按其展开：,称为坐标表象中的状态波函数， 称为动量表象中的状态波函数。,物理意义？,两者从不同的侧面描写粒子的状态, 给出了粒子的不同信息（力学量 和 的信息）。,二、Q 表象,力学量算符 的正
4、交归一的本征函数完备系：,任一状态 可按其展开：,展开系数：,由上述两式给出了 与 函数集之间的相互变换关系，将 写成矩阵,本征方程：,给出在 态中测量粒子的力学量Q 取 值的几率,对于 与 ，知道其一就可求得另一，因而 与 描述粒子同一状态。 是粒子状态波函数在Q 表象中的表示，称为Q 表象波函数,归一化条件,（归一化条件的矩阵表述形式）,以上讨论与三维矢量空间矢量的表示很类似。,Hilbert空间与态矢量,在三维矢量空间选一组正交归一完备基,正交归一条件,Hilbert空间：满足态迭加原理的状态全体构成的复线性空间,态矢量： Hilbert空间中的矢量，即体系的状态波函数视为一个矢量称为态
5、矢量（简称态矢）,力学量算符 的正交归一完备函数系 构成Hilbert空间中的一组正交归一完备基底。,任一态矢,注意： 由于波函数必须归一化，因而态矢的大小一定，不同的态矢只是方向不同。,正交归一,正交归一,量子态矢量：,矢量:,表象与几何空间坐标系的比较,选定一个特定 表象，就相当于在Hilbert空间中选定一个特定的坐标系,力学量算符 的正交归一完备函数系 构成Hilbert空间中的一组正交归一完备基底。,.任意态矢量 在 表象中的表示是一列矩阵，矩阵元 是态矢量 在 算符的本征矢 上的投影。,3选取不同力学量表象，就是选取不同完备正交基底，态矢的表述具有不同矩阵形式，这就是态的不同表象波
6、函数。,结论,4.2 算符的矩阵表示,在坐标表象中，力学量 F 用算符 表示，设 作用于 得到 。,一、力学量算符的矩阵表示,选定力学量 表象， 算符的正交归一的本征函数完备系记为,将 和 分别按函数系 展开,代入坐标表象表达式（1）,以 乘该式，对 全部范围积分,Q表象的表 达方式,可见，算符 在Q表象中是一个矩阵 ，其矩阵元为,二、Q表象中力学量算符 F 的性质,1 是厄米矩阵,Prove：,显而易见，对角矩阵元为实数,即 是厄米矩阵。,2力学量算符在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵。,在Q 表象中乃是一个矩阵，不过其行列不再是可数的，故用连续变化的下脚标表示。,求力学量算符矩阵的关键是求其
7、矩阵元,3当 具有连续本征值谱 时，力学量算符的表示矩阵元,例 1：求 Lx 在 L2, Lz 共同表象，=1子空间中的矩阵表示。,令： u1 = Y11 u2 = Y10 , u3 = Y1-1,Solve:,1归一化条件,4.3 量子力学公式的矩阵表示,2、期望值公式,在 表象中：,（续7）,3、本征值方程,在Q表象中，其矩阵形式为：,（1）,移项得：,（m = 1，2，3）,（2）,此式即为线性齐次方程组：,非零解的条件是系数行列式等于0，即久期方程：,将每个 值分别代入矩阵方程（1）或（2），求出 , 即得本征函数,这样变解微分方程为解代数方程。,思路：,4、Schrodinger方程
8、的矩阵形式,一、狄喇克符号的引入,4.5 狄喇克符号,刃矢 表示态矢量空间中一个态矢量,又称为右矢(ket),刁矢 表示共轭态矢量空间中一个态矢量,又称为左矢（bra）,在 ket、 bra中加入符号，可用于表示某具体的态,力学量的本征态，常用本征值或相应的量子数来表示：,表示波函数 所描述的共轭状态, 坐标算符的本征函数正交归一化条件：, 动量算符的本征函数正交归一化条件：,则其正交归一化条件为,对连续值谱，正交归一化条件为：,Ex:,若力学量算符 的本征矢记为 ，本征值为, 和 的共同本征函数正交归一化条件：,二、态矢量在具体表象中的表示,分立谱情况：,考虑 表象， 的正交归一本征矢为,任
9、意态矢 按 展开,是 在基矢 上的分量,基矢的封闭性关系,由于态矢 是任意的，由上式给出。,连续谱情况：,基矢用 表示,利用 可得,(1),封闭性关系：,有分立谱又有连续谱的情况，封闭性关系：,Ex. 坐标本征函数 的封闭性,Ex. 动量本征函数 的封闭性,三、公式的表示,1平均值,( F 为本征值 ),2本征值方程：,3薛定格方程,4.4 幺正变换,讨论波函数和力学量从一个表象变换到另一个表象的一般情况,二、幺正变换的性质,1）态的表象变换,2）力学量的表象变换,1）态的表象变换,？,态的 表象,态的 表象,其中,算符的本征函数在 表象的形式,a.,c. 变换矩阵的性质,任意两个表象之间的变
10、换矩阵互为共厄矩阵,表象之间的变换矩阵为么正矩阵。,2）力学量的表象变换,同乘,其中,算符,变换矩阵由 的本征函数在 表象中的形式组成,变换矩阵,表象，本征函数,表象，本征函数,概括：,或,由 算符的本征函数在 表象的形式组成,a.,状态的表象变换,力学量的表象变换,b.,状态的表象变换,力学量的表象变换,二、幺正变换的性质,1.幺正变换不改变算符(或矩阵)的本征值、迹,2.幺正变换不改变算符的对易关系,（1）幺正变换不改变算符的本征值,在 表象中的矩阵为 ,本征矢为,算符 在 表象中的矩阵为 ,本征矢为,本征方程,（2）,比较(1)、(2) 式,可知,本征值不变,由此定义有:,故迹不变， 的
11、迹等于 的迹,（2）幺正变换不改变矩阵的迹,矩阵A的对角元素之和称为矩阵A的迹，以 表示，则,则本征值方程为：,久期方程为：,的本征值分别为,哈密顿算符： （1）,1算符 、 的引入,令,（3）,本征能量： （2）,4.6 线形谐振子与占有数表象,2、 算符的性质,本征值方程：,定义新算符,厄米算符,粒子数算符,具有共同本征函数,具有n个准粒子的态记为,正交归一完备性。,、 的对易关系,Prove:,利用,运用,证明:,取,运用,下降算符,上升算符,依此类推，可得：,由,占有数表象和算符矩阵,的矩阵元,以粒子数算符 的本征态矢 为基矢构成的表象称为占有数表象。,的矩阵元,的矩阵元,的矩阵元,（a）这是在什么表象中的表示？,（b）求出它们满足的对易关系；,相应本征值为1 -1,
