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1、推理与证明章末小结,一、合情推理和演绎推理 1归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理,2从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得合情推理可以为演绎推理提供方向和思路,二、直接证明和间接证明 1直
2、接证明包括综合法和分析法 (1)综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：AB1B2BnB(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)它的常见书面表达是“，”或“”,(2)分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)，用分析法证明命题的逻辑关系是：BB1B2BnA，它的常见书面表达是“要证只需”或“” 2间接证明主要是反证法 反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这
3、样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法,反证法主要适用于以下两种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰； (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形,三、数学归纳法 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当nk1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的.,【点拨】 对合情推理的认识： 合情
4、推理包括归纳推理和类比推理归纳推理是由部分特殊的对象特征得到一般性的结论的推理方法它在数学研究或数学学习中具有十分重要的意义，通过归纳推理可以发现新知识，探索新结论，探索解题思路，预测答案等 类比推理是从特殊到特殊的一种推理方法，它以比较为基础，类比法有助于启迪思维，触类旁通，拓宽知识面，发现命题等，著名哲学家康德说：“每当理智缺乏可靠论证思路时，类比法往往能指明前进的方向”,特别提醒：(1)归纳推理是由部分到整体，个体到一般的推理，其结论正确与否，有待于严格证明 (2)进行类比推理时，要合理确定类比对象，不能乱比，要对两类对象的共同特点进行对比,1如图，第n个图形是由正n2边形“扩展”而来(
5、n1,2,3，)，则第n2个图形中共有_个顶点,解析： 设第n个图形中有an个顶点，则a1333，a2444， annnn， an2(n2)2n2n23n2. 答案： n23n2,【点拨】 数学中考查演绎推理的试题的比例比较大，即有选择、填空，也有解答、证明，立体几何是考查演绎推理的最好素材演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理，是一种由一般到特殊的推理数学中的证明主要是通过演绎推理进行的，演绎推理的一般模式是“三段论”，包括：大前提、小前提和结论在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，则结论必定是正确的,思维点击,2如图所示，在梯形ABCD中，ABDCAD，AC和BD是对角
6、线，用三段论求证：CA平分BCD. 证明： 等腰三角形两底角相等大前提 DAC是等腰三角形，DA，DC是两腰，小前提 12.结论,两条平行线被第三条直线所截得的内错角相等，大前提 1和3是平行线AD，BC被AC截出的内错角，小前提 13.结论 等于同一个量的两个量相等，大前提 2和3都等于1，小前提 23，结论 即CA平分BCD.,【点拨】 (1)综合法和分析法是直接证明中两种最基本的证明方法但这两种方法证明思路完全相反综合法是“由因导果”，而分析法是“执果索因” (2)一般情况下是用分析法寻找解题思路，然后用综合法证明问题，它们相互转换、相互渗透、要充分利用这一辨证关系在解题中综合法和分析法
7、联合运用，转换解题思路，增加解题途径,思维点击 条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明,【点拨】 对反证法的认识 (1)反证法是一种间接证明的方法，它的理论基础是互为逆否命题的两个命题为等价命题，它反映了“正难则反”的思想 (2)反证法着眼于命题的转换，改变了研究的角度和方向，使论证的目标更为明确，由于增加了推理的前提原结论的否定，更易于开拓思路因此对于直接论证较为困难的时候，往往采用反证法证明所以反证法在数学证明中有着广泛的应用,特别提醒：适宜用反证法证明的命题有： 结论本身是以否定形式出现的命题 关于唯一性，存在性的命题 结论是以“至多”“至少”等形式出现的命题 结论的反面比原结论更具体
8、，更容易研究的命题,已知实数a，b，c，d满足abcd1，acbd1. 求证：a，b，c，d中至少有一个是负数 思维点击 利用反证法，作出否定结论的假设，寻找矛盾,【点拨】 数学归纳法是一种直接证明的方法，主要用来证明与正整数n有关的命题证明时先证n取第一个值n0时命题成立；然后假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明nk1时命题也成立即可用数学归纳法证明时，要注意几个方面： (1)n的范围以及递推的起点；,(2)观察首末两项的次数(或其他)，确定nk时命题的形式f(k)； (3)从f(k1)和f(k)的差异，寻找由k到k1递推中，左边要加(乘)上的式子；(4)在归纳递推中一定要运用归纳假设
9、； (5)注意“归纳猜想证明”的思维模式的应用,1由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( ) A各正三角形内任一点 B各正三角形的某高线上的点 C各正三角形的中点 D各正三角形外的某点 解析： 正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心 答案： C,答案： B,3“因为我们是共青团员，所以我们要在学习和工作中起带头作用”它的大前提是( ) A我们是共青团员 B我们在学习和工作中起带头作用 C共青团员应在学习和工作中起带头作用 D以上都不是 答案： C,4用反证法证明某命题时，对结论：“自
10、然数a，b，c中至少有一个偶数”正确的反设为( ) AA，b，c中至少有两个偶数 BA，b，c都是奇数 CA，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 DA，b，c都是偶数 解析： “至少有一个”的反面是“一个也没有”， “a，b，c中至少有一个是偶数”应反设为：a，b，c都是奇数 答案： B,5.如图所示，因为四边形ABCD是平行四边形，所以ABCD，BCAD.又因为ABC和CDA的三边对应相等，所以ABCCDA. 上述推理的两个步骤中应用的推理形式是_ 答案： 三段论,6如图所示是一个有n层(n2，nN*)的六边形点阵，它的中心是一个点，算作第1层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，第n层每
11、边有n个点，则这个点阵共有_个点,答案： 3n23n1,8已知abc0，abbcca0，abc0，证明：a，b，c都大于零 证明： 假设a0，则a0. abc0，bc0， 又由abc0，得bca0 abbccaa(bc)bc0，与题设矛盾， 若a0，则与abc0矛盾，必有a0， 同理可证：b0，c0.,1(2012湖北卷)传说古稀腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数： 将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测：,3(2012福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： sin213cos217sin 13cos 17； sin215cos215sin 15cos 15； sin218cos212sin 18cos 12； sin2(18)cos248sin(18)cos 48； sin2(25)cos255sin(25)cos 55.,(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论,
