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1、,向量的加法和减法,向量的数乘运算,二、向量加法的三角形法则,作法（1）在平面内任取一点O,o,A,B,这种作法叫做向量加法 的三角形法则,1.向量加法的三角形法则,（要点：两向量起点重合组成平行四边形两邻边）,2.向量加法的平行四边形法则,（要点：两向量首尾连接）,3.向量加法满足交换律及结合律,1 相反向量：,与 长度相等，方向相反的向量，叫做 的相反向量,记作,规定:零向量的相反向量仍是零向量。,（1）,注：,（2）任意向量与它相反向量的和是零向量。,即：,（3）如果， 互为相反向量，,那么：,向量的减法,2 向量减法的定义,向量 加上 的相反向量，叫做 与 的差，,即：,求向量差的运算
2、，叫做向量的减法。,任意给出两个向量，如何做出这两个向量的差呢？,思考：,向量的减法,法（一） 平行四边形法则,因为,（1）做出 的相反向量,（2）利用向量加法的平行四边形法则,作出 即,O,法（二） 三角形法则,即是由 指向 的向量,观察作图（一）：,这是因为：,于是求 就是求这样一个向量，,它与 的和等于 。,此即向量减法的三角形法则,作法:,在平面中任取一点o,法（二） 三角形法则,过O作,过O作,则,如图,已知向量 和向量 ,作向量,连端点，指向被减数,如果， ，怎样做出 ？,思考,(1)同向,(2)反向,例题,例1已知向量 ，求作向量,作法：如图，在平面内任取一点O，,作,作,则,例
3、2如图，平行四边形ABCD中，用 表示向量 。,解：由作向量和的平行四边形法则，,得,由作向量差的方法，,例题,知,练习.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且 ，你能用 、 来表示 。,A,B,D,M,另：,（1）,（2）,2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义,1.向量加法三角形法则:,特点:首尾顺次连，起点指终点,特点:起点相同,对角为和,特点：平移同起点，方向指被减,2.向量加法平行四边形法则:,3.向量减法三角形法则:,已知非零向量 ,作出 ,你能发现什么？,类比上述结论， 又如何呢？,A,B,C,Q,M,N,与 方向相同,与 方向相反,作一作，看成果,一般地，我们规定实
4、数与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度和方向规定如下：,（1）,（2）当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反。,特别的，当 时，,向量的数乘运算满足如下运算律：,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,例1、计算下列各式,成立,向量共线定理：,思考:1) 为什么要是非零向量?,2) 可以是零向量吗?,证明三点共线的方法:,总结:,AB=BC,试一试：,且有公共点,A,B,C三点共线,A,B,C,一、a 的定义及运算律向量共线定理 (a0)b=a 向量a与b共线,二、定理的应用：1. 证明 向量共线2. 证明 三点共线: AB=BC 且有公共点3. 证明 两直线平行:AB=CDAB与CD不在同一直线上,直线AB直线CD,小结:,A,B,C三点共线,ABCD,作业：,设 是两个不共线的向量，若A、B、D三点共线，求k的值.,
