2.4 电场的能量和能量密度

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1、2.4.1 带电体系的静电能,2.4.1 带电体系的静电能一.点电荷之间的相互作用能移动一个带电体中的电荷,就需要抵抗电荷之间的静电力作一定的功 ,从而带电体 系的静电位能(简称静电能)将改变 ,二者的关系是（2.23） 这里 和 都是可正可负的。例如把同号电荷移近时， ， ，即静电能增 加；把异号电荷移近时， ， ，即静电能减少。上面说的只是静电能的变化，静电能本身的数值是相对的。要谈一个带电体所包含的 全部静电能有多少，必须说明相对于何种状态而言。我们设想，带电体系中的电荷可以无 限分割为许多小部分，这些部分最初都分散在彼此相距很远（无限远）的位置上。通常规 定，处于这种状态下的静电能为0

2、。现有的带电体系的静电能 是相对于这种初始状态而 言的。亦即， 等于把各部分从无限分散的状态聚集成现有带电体系时抵抗静电力所做的 全部功 。设带电体系由若干个带电体组成，带电体系的总静电能 由各带电体之间的相互作 用能 和每个带电体的自能 组成。把每一个带电体看作一个不可分割的整体，将各带,2.4.1 带电体系的静电能,电体从无限远移到现在位置所作的功，等于它们之间的相互作用能；把每一个带电体上的 各部分电荷从无限分散的状态聚集起来时所做的功，等于这个带电体的自能。由点电荷组成的带电体系叫做点电荷组。本小节只讨论点电荷组中各点电荷间的相互 作用能，有关自能的问题将在以后讨论。（1）两个点电荷的

3、情形设我们的带电体由两个点电荷 和 组成，它们之间的 距离是 (如右图示)。在计算功 时，可以有各种不同的 方式。例如可以首先把 放置到它应在的位置 上固定下来， 然后再把 由无穷远处搬来，放在与 相距 远的地方 。也可以反过来，先固定 ，再 搬运 。无论怎样，计算的结果应当相同。现在我们采用上述第一种方式。在搬运 时体系中还没有其它电荷和电场，因而不需 作功。搬运 时，它已经处在 的电场 中，因而需抵抗电场力 作功：其中,2.4.1 带电体系的静电能,它是 在 点产生的电位（以无穷远为电位零点）。同样可以证明，以第二种方式搬运，需要作的功为：其中它是 在 点产生的电位。可见，两种计算方式所得

4、结果一致：如上所述，这个 就等于 、 之间的相互作用能 ，把它写成对于 、 对称的形 式，则有（2.24）,2.4.1 带电体系的静电能,（2）多个点电荷的情形现把上述结果推广到多个点电荷的情形。设点电荷有 个。我们设想，把这 个点电 荷 、 、 依次由无限远的地方搬运到它们应在的位置 、 、 上去。根据场 强或电位叠加原理不难看出，搬运各电荷的功分别是：用通用式来表达，则有其中,2.4.1 带电体系的静电能,代表第 个电荷在第 个电荷所在位置 处产生的电位。因此建立这带电体系的总功为(2.25) 可以证明，建立多个点电荷组成的体系时，总功 也是与搬运电荷的顺序无关的。为 此只需证明 的表达式

5、可以写成对电荷标号 、 完全对称的形式。由于而且其中距离 显然等于 ，故式(2.25)中的 可用代替,因而 可改写成(2.26) 这公式显然已是对标号 、 对称的了。的表达式还可进一步改写成另外的形式。用 代表式(2.26)中括弧内各项之和：,2.4.1 带电体系的静电能,它的物理意义是除 外其余各点电荷在 的位置 上产生的电位。因此 又可写成(2.27) 从这个式子可更加明显地看出， 是与电荷标号 、 的顺序无关的。点电荷组的静电相互作用能 就等于上述功 ，按照(2.25) 、(2.26) 、(2.27)各 式, 也可表示成几种不同的形式(2.28)(2.29)(2.30),2.4.1 带电

6、体系的静电能,式(2.28)告诉我们：若从 个点电荷中不重复地选出各种可能的配对 来，则总静电相 互作用能 是所有这些配对能量 之和。用式(2.29)来计算 ，相当于先选出某 个特定的点电荷 ，求它与所有其余各点电荷之间相互作用能之和，尔后再对 求和。 这样一来，每对电荷之间的能量被重复考虑了两次，故结果应除以2。在下面的两个例题 里分别用这两种方法计算 。【例题1】如右图示，在一边长为 的立方体每个顶点 上放置一个点电荷- ，中心放一个点电荷+2 。求此带电 体系的相互作用能。【解】相邻顶点之间的距离是 ，故十二对相邻负电荷 之间的相互作用能是 ；面对角线长度为 ， 故六个面上十二对面对角顶

7、点负电荷之间的相互作用能为；体对角线的长度为 ，故四对体对角顶点负电荷之间的相互作用能为；立方体中心到每个顶点的距离是 ，故中心正电荷与八个顶点负电 荷之间的相互作用能是 。归纳起来，这个点电荷组的总相互作用能,2.4.1 带电体系的静电能,为【例题2】氯化钠晶体中是一种离子晶体，它由 正离子钠 和负离子 组成，它们分别带电 ( 为基本电荷)。离子实际上不是点电荷，而近似于 一个带电球体，其中 的半径比 大(如右图示)。 但是在计算离子间的相互作用能时，可把它们看 成是电荷集中在球心的点电荷。在氯化钠晶体中 正、负离子相间地排列整齐的立方点阵。设相邻 正、负离子之间的距离为 ，晶体中每各离子的

8、 总数为 。求晶体的静电相互作用能。【解】一个宏观晶体中包含的原子或离子数目 非常巨大(至少达 数量级)。要想从中找出所有的配对来是不可能的。下面我们采用一种简化 的计算方法，即先计算单个离子与所有远近离子之间的相互作用能，然后乘以离子总数并除以2。右 上图的立方体中心是正离子，它与其它离子之间的相互作用能是,2.4.1 带电体系的静电能,第一项来自六个最近的负离子，它们到中心的距离都是 ；第二项来自十二个最近的正离子，它们到 中心的距离都是 ；第三项来自大立方体八个顶点上的负离子，它们到中心的距离都是 。式中 的“”代表图中未画出的那些更远离子的贡献。这几乎是一个无穷级数。不过越远的离子对

9、的贡 献越小，且各项正、负相间，可以证明这级数是收敛的。数值计算的结果为不难看出，单个负离子与所有其它离子的相互作用能 等于 ，所以晶体的总相互作用能是表明，组成晶格点阵时，抵抗静电力作负功，或者说静电力作了正功。相反，若想把晶格点 阵完全拆散，需要抵抗静电力作数量上与上式相等的正功。故 是晶体的静电结合能。上述计算方法的不严密之处是它不适合那些靠近晶体边界面的离子，因为在这些离子的一侧没有 多的“邻居”。不过对于一个宏观晶体来说，这种离子的数目占整个离子总数 的很小一部分，这种 误差是完全可以忽略不计的。上述结果与晶体结合能的实际测量相比，约大10%。误差的来源主要是把离子看成了点电荷，和

10、未计及量子交换效应。考虑了这些效应的修正之后，理论和实测值就符合得相当好了。,2.4.1 带电体系的静电能,二. 电荷连续分布情形的静电能把 写成式(2.30)的形式，便于我们推广到电荷连续分布情形。以体电荷分布为例， 我们把连续的带电体分割成许多体积元 ，设电荷的体密度为 ，则每块体积元的电量 为 ，按照式(2.30)，有取 的极限，上式过渡到体积分：（2.31) 应注意，写出上述积分，就意味着带电体内的电荷已被无限分割，因而我们得到的已不是 相互作用能 ，而是包括自能在内的总的静电能 了。同理，对于线电荷分布，有(2.32) 对于面电荷分布，有(2.33) 式中 和 分别是带电的线元和面元

11、, 和 分别是电荷的线密度和面密度.上面三式的,2.4.1 带电体系的静电能,积分范围遍及所有存在电荷的地方。如果只有一个带电体，(2.31)、(2.32)、 (2.33)各 式给出的就是它的自能。【例题3】求均匀带电球壳的静电自能，设球的半径为 ，带电总量为 。【解】由第一章4例题2的计算，球面上的电位为 ，它在球面上是个常数，故式(2.33) 化为(2.34) 同学们可以根据第一章4习题18中的结果,计算一个半径为 、带电总量为 的均匀球体的静电自能。 其结果为(2.35)在例题3中若令 ,则带电球缩成点电荷。从(2.34)、(2.35)可以看出,点电荷的自能为 。在电动力学 课中将会看到

12、，一个电子的质量(惯性) ，与它的静电自能有一定联系。如果把电子看成一个点电荷，它将具有无 穷大的自能，这在理论上造成所谓“发散困难”。如果把电子看成有一定半径 的带电球，则它的自能与电荷分布情 况有关。例如把电子设想成表面带电的，则自能等于 见式(2.34)；若把电子设想成体内均匀带电的,则自 能等于 见式(3.35)；即不同模型得到不同的结果，但它们的数量级一样，都是 乘以一个数量 级为1的因子。根据相对论的质能关系， ( 米/秒为真空中的光速),假设 全部来自静电自能 , 并取它的表达式为 ,则可导出电子的半径为 ：,2.4.1 带电体系的静电能,(2.36) 式(2.36)所规定的 称

13、为电子的经典半径。现代的基本粒子理论大多建筑在点模型上。通常采用点模型会导致上述发散困难；但不采用点模型，从相对论 和量子理论考虑，又会出现其它一系列问题。这是现代基本粒子理论中广泛存在的一个基本矛盾。所以从经典理论 导出的式(2.36)决不是真的代表电子的线度。但是，从另一个角度看， 却是一个由电子的基本常数( 和 )组成 的具有长度量纲的量,因而它在许多参与的过程(如散射)中起作用,在以后的课程中我们看到 经常在一些理论(包 括近代量子理论)的公式中出现。三.电荷在外电场中的能量在有的实际场合里，往往需要把带电体系中的某个电荷或电荷组(如偶极子)分离出来，把它们作 为试探电荷看待。带电体系

14、的其余部分产生的电场，对试探电荷来说是“外电场”。在4.2节例题3中就 是这样处理的。在那里电子被看成试探电荷，电极K、A产生的电场对它来说是外电场。从阴极K到阳 极A外电场所作的功 就是电子在外电场中的电位能差 。普遍地说，一个电荷 在外电场 中P、Q两点间的电位能差为若取Q为无穷远点，并令 ，则电荷 在外电场中P点的电位能为(2.37),2.4.1 带电体系的静电能,【例题4】求电偶极子 在均匀外电场 中的电位能（如右图示）。【解】 按照式(2.37)电偶极子中正、负电荷的电位能分别是电偶极子在外电场中的电位能为式中 是 与 的夹角。写成矢量形式，则有(2.38) 式(2.38)表明,当电

15、偶极子的取向与外电场方向一致时， 电位能最低；取向 相反时， 电位能最高。如果电偶极子可以绕中心 自由转动，则它总是趋 向于取 的位置，即这是一个稳定平衡的位置。,2.4.1 带电体系的静电能,四.带电体系受力问题设处在一定位形的带电体系的电位能为 ，当它的位形发生微小变化(例如发生平移或转动)时， 电位能将相应地改变 。若带电体的某一部分原来受力 或力矩 ，在位形变化时，电场力就作一 定的功 。假设在此过程中没有能量的耗散和补充，根据能量守恒定律，应有(2.39) 即电场力的功等于电位能的减少。下面分别就平移和转动两种情形来讨论这个带电体系的受力问题：（1）平移设想带电体系有一微小位移 ,则 ,其中 是电场力在 方向上的投影。代入上 式(2.39)中，则有 ，除以 ，取 的极限，得(2.40)（2）转动设想带电体系绕某个方向作微小的角位移 ,则 ，其中 是力矩 在转轴方向的投 影。代入式(2.39)中，则有 ，除以 ，取 的极限，得(2.41)利用(2.40)或许(2.41)，可以求出 或 来。用这种方法计算力或力矩，比直接计算简单得多。,